Aloha :)
Ich würde mir für die Matrix \(M\) die beiden beschriebenen Eigenwertgleichungen aufstellen:
$$\begin{pmatrix}m_{11} & m_{12}\\m_{21} & m_{22}\end{pmatrix}\binom{1}{1}=-2\binom{1}{1}\quad;\quad\begin{pmatrix}m_{11} & m_{12}\\m_{21} & m_{22}\end{pmatrix}\binom{1}{-1}=3\binom{1}{-1}$$
Rechnen wir das aus, bekommen wir:
$$\binom{m_{11}+m_{12}}{m_{21}+m_{22}}=\binom{-2}{-2}\quad;\quad\binom{m_{11}-m_{12}}{m_{21}-m_{22}}=\binom{3}{-3}$$
Aus den ersten Komponenten folgt:$$\left.\begin{array}{l}m_{11}+m_{12}&=&-2\\m_{11}-m_{12}&=&3\end{array}\right\}\implies 2m_{11}=1\;;\;2m_{12}=-5\implies m_{11}=\frac{1}{2}\;;\;m_{12}=-\frac{5}{2}$$
Aus den zweiten Komponenten folgt:$$\left.\begin{array}{l}m_{21}+m_{22}&=&-2\\m_{21}-m_{22}&=&-3\end{array}\right\}\implies 2m_{21}=-5\;;\;2m_{22}=1\implies m_{21}=-\frac{5}{2}\;;\;m_{22}=\frac{1}{2}$$
Die gesuchte Matrix ist also:
$$M=\left(\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{5}{2}\\[1ex]-\frac{5}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right)$$
