zeigen sie für hyperbeln: jede gerade g die parallel zu einer der beiden asymptoten u,v ist (g =/= u,v), schneidet …

Question

Aufgabe:

zeigen sie für hyperbeln: jede gerade g die parallel zu einer der beiden asymptoten u,v ist (g =/= u,v), schneidet die Hyperbel in genau einem punkt (obwohl sie keine Tangente ist). Es genügt die 1. Haputlage.

Problem/Ansatz:

Ich komme auf keinen richtigen Ansatz, kann mir da wer behilflich sein?

Answer 1

Ist dir wenigstens anschaulich klar, warum das so sein muss???

Du hast doch nun wirklich nichts weiter zu tun, als die Gleichung einer Parallelen zur Asymptote aufzustellen und von dieser Gerade den Schnittpunkt mit der Hyperbel auszurechnen.

In der Hauptlage haben die Asypmtoten die Gleichungen y=±\( \frac{b}{a}x \), dazu parallele Geraden werden mit y=±\( \frac{b}{a}x+n \) beschrieben.

Comments

vielen dank! ich weiss auch nicht wie ich nicht drauf gekommen bin :-)

Answer 2

1. Hauptlage:  x^2 / a^2 - y^2 /b^2 = 1 bzw. x^2*b^2 + y^2*a^2=a^2b^2

Asymptoten y = ±b/a * x

parallel dazu  y =   ±b/a * x + n

einsetzen gibt    b^2 * x^2  - a^2 *( ±b/a * x + n )^2 =  a^2 * b^2

              b^2 * x^2 - ( a^2 * (x^2*b^2/a^2  ± 2 b/a * x * n + n^2 )  = a^2 * b^2

            b^2 * x^2 -   b^2* x^2  ± 2 a*b * x * n - a^2 *n^2 = a^2 * b^2

                              ± 2 ab * x * n  =   a^2*n^2  + a^2 * b^2

Es gibt also eine lineare Gleichung , die wegen ab≠0 genau eine Lösung hat.

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Vielen, vielen dank! Hat mir wirklich sehr geholfen! :-)