Ansatz für Lösungen in komplexen Zahlen einer Gleichung mit Binomen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die komplexen Lösungen der Gleichung.

(Z+2+j)¹⁴ + (Z+2+j)⁷ +1 = 0

Und skizzieren Sie die Lage in der Gauß‘schen Ebene.

Problem/Ansatz:

Hallo mir fehlt zu dieser Aufgabe ein Sinnvoller Ansatz.

Kann man die Binome irgendwie zusammenfassen oder ähnliches, bevor man Sie mit dem Binomialsatz ausrechnet?

Answer 1

Du kannst substituieren

U = (Z+2+j)^7

Comments

Dann wäre das ganze ja:

U² + U + 1 = 0

-1*U²= 1+U

-1*U = √U+1

Also:

-1*(z+2+j)⁷ = (²√(z+2+j)⁷)+1

Passt das so?

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Du müsstest schon zuerst mal die quadratische Gleichung lösen

u^2 + u + 1 = 0

Und das bedeutet das u auf einer Seite alleine steht und nicht auf beiden Seiten. Dann weißt du ja immer noch nicht was u jetzt ist.

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ich habs versucht komme aber wieder nicht weiter ...

demnach wäre ja:

x=√(-1) * √(3/4) -(1/2)

und das wäre in ℂ:

x= i*((√3)/2)-(1/2)

wie würde ich dann zurück substituieren?

mit  i*((√3)/2)-(1/2) = (Z+2+j)⁷ und dann nach z auflösen wird ja nix weil z ja einen immer höher werdenden Exponenten hätte.

oder wieder substituieren mit (z+2) = x => (x+j)⁷

kann man auch nicht zu x auflösen wegen dem steigenden Exponenten von x⁰ bis x⁷

Oder hab ich nen Gedankenfehler?

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Du könntest jetzt nochmals substituieren und berechnen dass

v^7 = - 1/2 + √(3/4)·i = e^(- 1/3·pi·i)

bzw.

v^7 = - 1/2 - √(3/4)·i = e^(4/3·pi·i)

Hier ist es günstig in die Exponentialform umzuwandeln. Du weißt sicher warum oder?

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super mit dem Tipp hab ichs herausbekommen.

Es sind 14 Lösungen in C die Verbunden einen Kreis im 3. Quadranten ergeben.

Danke für die Hilfe :D