Binomischer Lehrsatz / Unbekannt reelle Zahlen bestimmen. (Für Mathe-Genies)

Question

Aufgabe:

Mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes soll man die unbekannten ℝ a,b und c bestimmen.

a) x² - 3x + 1 = (x-a)×(x-b)

b) x³ - 2x² + 8x = (x-a)³ + (x+b)² + (x-c)

Anmerkung: für a) soll keine quadratische Lösungsformel verwendet werden. Es soll ein Term wie (x - u)² entstehen. (quadratisches ergänzen)

Problem/Ansatz:

Finde das Biespiel recht knifflig. Irgendwelche Lösungsansätze?

Answer 1

Ich weiß nicht ganz genau ob das so gemeint ist

x^2 - 3·x + 1 = 0
x^2 - 3·x = -1
x^2 - 3·x + 1.5^2 = 1.5^2 - 1
(x - 1.5)^2 = 2.25 - 1
(x - 1.5)^2 = 1.25
x - 1.5 = ± √1.25
x = 1.5 ± √1.25

a = 1.5 - √1.25 ; b = 1.5 + √1.25

Comments

(x - a)^3 + (x + b)^2 + (x - c)

= (x^3 - 3·a·x^2 + 3·a^2·x - a^3) + (x^2 + 2·b·x + b^2) + (x - c)

= x^3 + (1 - 3·a)·x^2 + (3·a^2 + 2·b + 1)·x + (- a^3 + b^2 - c)

Mache jetzt eine Koeffizientenvergleich

1 - 3·a = -2 --> a = 1

3·1^2 + 2·b + 1 = 8 --> b = 2

- 1^3 + 2^2 - c = 0 --> c = 3

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Könnten Sie mir b) eventuell erklären?

Ich verstehe diese Zeile nicht ganz: x3 + (1 - 3·a)·x2 + (3·a2 + 2·b + 1)·x + (- a3 + b2 - c)

Wie haben sie hier umgeformt? und warum?

Habe versucht es zu verstehen aber komme nicht dahinter..

Vielen Dank!

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Ich habe gleiche Potenzen von x zusammengefallsst.

Also

(x^3 - 3·a·x^2 + 3·a^2·x - a^3) + (x^2 + 2·b·x + b^2) + (x - c)

Nur mal alle Terme mit x^2 nehmen

- 3·a·x^2 + x^2

und x^2 ausklammern

(- 3·a + 1)·x^2

So verstanden?

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Habe es jetzt verstanden!

Answer 2

Text erkannt:

\( a) \)
\( x^{2}-3 x+1=0 \)
\( x^{2}-3 x=-1 \mid+q \cdot E \cdot\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4} \)
\( x^{2}-3 x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4} \)
\( \left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\ldots \)
Kommst du nun weiter?
\( \mathrm{mfG} \)
Moliets

Zu b) empfehle ich, die rechte Seite auszumultiplizieren und dann die Koeffizienten zu vergleichen.