Stetigkeit einer Funktion beweis!

Question

Aufgabe:

(1) Sei \( X \subset \mathbb{R} \) und seien \( f, g: X \longrightarrow \mathbb{R} \) stetig. Wie beweise ich, dass die Funktion\(|f|: X \longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto|f(x)|\)und (als Anwendung davon) auch die Funktion\(\max \{f, g\}: X \longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto \max \{f(x), g(x)\}\) stetig ist.

(2) Für eine reelle Zahl \( x \) bezeichne \( [x] \) die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich \( x \) ist. In welchen Punkten ist die Funktion\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \cdot\left[\frac{1}{x}\right], & \text { falls } x \neq 0 \\1, & \text { falls } x=0\end{array}\right.\)stetig? Mit der Begründung bitte.

Vielen Dank im Vpraus!

Comments

Könnte Jemand einfach eine Idee oder einen Vorschlag wie ich diese Aufgabe löse?

Grüße :)

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ich versuche seit 2 Tage diese Aufgabe zu lösen, aber ich habe bis jetzt gar nix geschafft!

Answer 1

Hallo,

wir schauen mal auf (1): Wenn wir das Folgen-Kriterium für Stetigkeit im Punkt z nehmen (\( x_n \to z \Rightarrow f(x_n) \to f(z)\)), dann wräe zu zeigen:

$$x_n \to z \Rightarrow |f(x_n)| \to |f(z)| $$

Dazu kann man eine Ungleichung verwenden, die oft als "Dreiecksungleichung nach unten! bezeichnet wird:

$$\forall a,b \in \mathbb{R}:\quad ||a|-|b|| \leq |a-b|$$

Das liefert hier:

$$||f(x_n)|-|f(z)|| \leq |f(x_n)-f(z)| \to 0$$

Die nächste Aussage folgt einfach auch der Darstellung

$$max \{a,b\}=0.5(a+b+|a-b|),$$

die Du überprüfen kannst, indem Du die Fälle \(a \geq b\) und \(a \leq b\) betrachtest.

Für die Aufgabe 2 würde ich davon ausgehen, dass

$$[x]=n \iff n \leq x < n+1$$

und daraus - zunächst für positive x eine stückweise Darstellung von f herleiten ...

Gruß