Beweis: die Norm ist nicht vollständig, die Ableitung der Norm ist vollständig, Stetigkeit

Question

Betrachten Sie den Raum der stetig differenzierbaren Funktionen C¹([a,b],ℝ).

a) Zeigen Sie, dass (C¹([a, b],ℝ), || • ||_∞) nicht vollständig ist.

b) Zeigen Sie, dass (C₁([a,b],ℝ), || • ||_C¹) mit der Norm
|| f ||_C¹ = sup{|f(x)| + |f'(x)|  | x ∈ [a, b]} wobei f' die Ableitung bezeichnet, vollständig ist.

c) Zeigen Sie, dass die Abbildung D : C¹([a,b],ℝ) → C([a,b],ℝ), f ↦ f' stetig ist, wenn C([a,b],ℝ) mit || • ||_∞ und C¹([a,b],ℝ) mit || • ||_C1 versehen wird.