Betrachten Sie den Raum der stetig differenzierbaren Funktionen \( C^{1}([a, b], \mathbb{R}) \)
a) Zeigen Sie, dass \( \left(C^{1}([a, b], \mathbb{R}),\|\cdot\|_{\infty}\right) \) nicht vollständig ist.
b) Zeigen Sie, dass \( \left(C^{1}([a, b], \mathbb{R}),\|\cdot\|_{C^{1}}\right) \) mit der Norm
$$ \|f\|_{C^{1}}=\sup \left\{|f(x)|+\left|f^{\prime}(x)\right| | x \in[a, b]\right\} $$
wobei \( f^{\prime} \) die Ableitung bezeichnet, vollständig ist.
c) Zeigen Sie, dass die Abbildung \( D: C^{1}([a, b], \mathbb{R}) \rightarrow C([a, b], \mathbb{R}), f \mapsto f^{\prime} \) stetig ist wenn \( C([a, b], \mathbb{R}) \) mit \( \|\cdot\|_{\infty} \) und \( C^{1}([a, b], \mathbb{R}) \) mit \( \|\cdot\|_{C^{1}} \) versehen wird.
Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein, da ich nicht wirklich verstehe was gezeigt bzw. bewiesen werden soll? Ich wäre euch sehr dankbar!
