Ableitung Quadratfunktion anschaulich

Question

Liebe Lounge,

ich habe eine Frage zur Veranschaulichung der lokalen Änderungsrate (Ableitung) anhand der quadratischen Funktion f(x)=x^2.

Stellen wir uns eine Quadrat mit der aktuellen Seitenlänge x=2 vor. Dann gilt für den Flächenhinhalt ja f(2)=2^2=4

Man könnte sich ja jetzt anschaulich fragen, um wie viel sich die Fläche ändert, wenn man zur Seitenlänge etwas dazu gibt.

Man weiß nun, dass die Ableitungsfunktion f‘(x)=2x ist. Weiter gilt: f‘(x)=dy/dx, also dy =4*dx...

Die Ableitung bedeutet doch, dass pro Einheit verlängerter Seitenlänge 4 Flächeneinheiten dazu kommen - oder?

Oder gilt diese „Näherung“ nur für kleine dx und wird genauer, umso kleiner dx wird.

Weil wenn ich mir ein solches Quadrat aufzeichne, seitenlange 2 , und dann 1 cm Seitenlänge dazu gebe, dann kommen bei mir 5Flächeneinheiten dazu und nicht vier.

Also müsste man es so formulieren: An der Stelle x=2 kommen für sehr kleine Änderungen von x ungefähr 4 Flächeneinheiten  pro ganzer Längeneinheit dazu.

Passt das?

!

Answer 1

Oder gilt diese „Näherung“ nur für kleine dx und wird genauer, umso kleiner dx wird.

genau so ist es !

mach es mal mit x=0,1 dann hat das vergrößerte Quadrat 4,41 cm^2

ist also um 0,41cm^2 größer geworden. dy= 4*dx ergibt dy=4*0,1= 0,4

ist also schon nah dran.

Answer 2

A ( x ) = x^2
Es kommt Δx zu x hinzu

A ( x + Δx ) = ( x + Δx )^2
A ( x + Δx ) = x^2 + 2*Δx + Δx ^2
( In der Skizze muß es anstelle " a " " x " heißen )

Comments

Lieber Georg,

bei der Änderungsrate würde es ja aber um Delta y gehen, also müsste man doch das x^2 noch abziehen...?

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Ich weiß nicht ob du die Ableitung
einer Funktion überhaupt so verstehen
solltest.

Die 1.Ableitung ist die STEIGUNG an einer
bestimmten Stelle.

Funktion f ( x ) = x^2
Funktion der Steigung f ´( x ) = 2x

Die Steigungsfunktion wird anschaulich
mit einem Steigungsdreieck dargestellt.
Ermittelt wird die Steigungsfunktion
mit der delta-h Methode später mit Differentialrechnung.

Ich kann das gerne vorführen.

oder auch

https://www.mathebibel.de/differentialquotient