Reihenwert berechnen Ana

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3^k}{k!}\cdot x^{k+1}\)

Problem/Ansatz:

ich soll die geschlossene bzw. Ich bin mir gerade nicht sicher wie dass heißt kann auch sein den Reihenwert.

Lösung ist jedenfalls x*(e^x -1)

Ich bekomme dass immer hin aber dass dieses x auf einmal ein x^k+1 hat dass verwirrt mich extrem.

Kann mir einer ausführlich zeigen wie man da hinkommt bitte.

Hab am Montag eine Prüfung.

Comments

Ich werde aus der Summenformel nicht wirklich schlau. Könntest du mal bitte Klammern und / oder Bruchstriche setzen.

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Ach der Dreck hat dass nicht als Summe dargestellt.

Dass ist die Summe von k = 1 bis unendlich.

Mit (3^k ÷ k!) * x ^ k+1

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x(e^{3x}-1).........

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum%283%5Ek%2Fk%21+x%5E%7Bk%2B1%7D

Answer 1

Hallo, die korrekte Lösung dazu lautet: \(x\cdot (e^{3x}-1)\)

Das bekommt man so:

\(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3^k}{k!}\cdot x^{k+1}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3^k}{k!}\cdot x^k\cdot x=x\cdot \left( \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3^k}{k!}\cdot x^k \right)\\[10pt]=\underbrace{x\cdot \Bigg(\left( \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{3^k}{k!}\cdot x^k \right)-\frac{3^0}{0!}\cdot x^0\Bigg)}_{\text{Starte bei k=0 und ziehe als Ausgleich den 0-ten Summanden ab.}}\\[10pt]=x\cdot \Bigg(\left( \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{3^k}{k!}\cdot x^k \right)-1\Bigg)\\=x\cdot \Bigg(\left( \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\cdot (3\cdot x)^k \right)-1\Bigg)\\=x\cdot (e^{3x}-1)\)

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Ja dann ist tatsächlich dass Ergebnis falsch bei den Lösungen.

Aber ich hab dass jetzt gerafft.

Vielen vielen Dank.

Answer 2

Hallo

sieh dir mal erst die Reihe von e^x an dann zieh noch x aus der Summe dann schreibe statt  3^k*x^k= (3x)^k
dann siehst du dass dein Ergebnis falsch oder falsch abgeschrieben ist!
Gruß lul

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Verzeihung aber dass ist dass Ergebnis.

X*(e^x - 1) ich hab das vor mir.

Und die Summe lautet 3^k / k! * x^k+1

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Die Summe fängt an ab 1 bis unendlich.

Können Sie mir dass nicht verrechnen, ich hab das doch ewig probiert, ich komme nicht drauf.

Answer 3

\(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3^k}{k!}\cdot x^{k+1}\)

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}=e^x$$

$$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(3x)^k}{k!}=e^{3x}$$

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(3x)^k}{k!}=e^{3x}-1$$

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3^k}{k!}\cdot x^{k}=(e^{3x}-1)$$

$$x*\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3^k}{k!}\cdot x^{k}=x(e^{3x}-1)$$mit Distributivgesetz

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3^k}{k!}\cdot x^{k}*x=x(e^{3x}-1)$$

$$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{3^k}{k!}\cdot x^{k+1}=x(e^{3x}-1)$$

wzzw

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Vielen vielen Dank nochmals auch an ihnen, nachdem ich dass sehe, denke ich mir, ou man wieso bin ich nicht drauf gekommen, vielleicht war es einfach zu spät.

Danke danke.