Zeigen dass U kein Untervektorraum ist

Question

Weisen Sie nach, dass

$$ U=\left\{\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{2}=x_{1}^{2}\right\} $$

kein Untervektorraum des \( \mathbb{R}^{2} \) ist.

0∈U trifft hier zu: 0 = 0

Abgeschlossenheit bzgl. der Addition sollte auch zutreffen

\( \begin{pmatrix} x1\\x2\end{pmatrix} \)  +  \( \begin{pmatrix} y1\\y2\end{pmatrix} \) = x2 + y2 = x1²  + y1²  = 0

Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation kann ich nicht überprüfen ist hier der Wiederspruch ?

Answer 1

Nutze die Symmetrie des Quadrats aus. Sowohl \(\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\) als auch \(\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}\) liegen in \(U\), nicht aber: \(\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\2 \end{pmatrix}\notin U,\) denn \(0^2\neq 2\). Also keine Abgeschlossenheit bzgl. der Vektoraddition und damit auch kein UVR.

Answer 2

\(\begin{pmatrix}a\\a^2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b\\b^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+b\\a^2+b^2\end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix}a+b\\(a+b)^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+b\\a^2 + 2ab + b^2\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}a+b\\a^2+b^2\end{pmatrix}\)