zwei holomorphe Funktionen auf der nichtleeren offenen Teilmenge

Question

Es seien \( f \) und \( g \) zwei holomorphe Funktionen auf der nichtleeren offenen Teilmenge \( \Omega \subset \mathbb{C}, \) und es gelte \( f g=0 . \) Beweisen Sie, dass für Kreisscheiben \( \Omega \) dann \( f=0 \) oder \( g=0 \) auf ganz \( \Omega \) gilt. Gilt dies auch für allgemeine Bereiche \( \Omega ? \) Geben Sie entweder einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.

Weiß jemand, wie man hier vorgeht?

Answer 1

Hallo,

es geht mit dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen. Frage ist, in welcher Allgemeinheit Ihr den besprochen habt. Jedenfalls bedeutet ja \(f(z)g(z)=0\), das \(f(z)=0\) oder \(g(z)=0\) für jedes \( z \in \Omega\). Also hat mindestens die Nullstellenmenge von f oder die Nullstellenmenge von g den Scheibenmittelpunkt (zum Beispiel) als Häufungspunkt. Dann liefert der Satz entsprechend, dass f die Nullfunktion ist oder g.

Das lässt sich auf Gebiete übertragen, aber nicht auf unzusammenhängende Mengen. Beispiel: \(f(z)=0\) auf der rechten offenen Halbebene und \(f(z)=1\) auf der linken offenen Halbebene, g umgekehrt.

Gruß

Comments

Klasse, danke dir!