Question

Hi, wenn zwei Aequivalenzrelationen $$R$$ und $$S$$ auf einer (nichtleeren) Menge $$X$$ gegeben sind, ist dann $$S \circ R$$ auch eine Aeqeuivalenzrelation? Ein Gegenbeispiel waere fuers Widerlegen natuerlich hinreichend, ich kriege aber keins konstruiert.

Vielen Dank fuer jegliche Bemuehungen!

Answer 1

Symmetrie ist nicht garaniert.

Sei \((x,y)\in R\circ S\). Damit \(R\circ S\) eine Äquivalenzrelation ist, muss es ein \(m\in X\) mit \((y,m)\in S\) und \((m,x)\in R\) geben.

Die Sichtweise von Äquivalenzrelationen als Partitionen von \(X\) hilft, ein Beispiel zu finden, bei dem \(R\circ S \) nicht symmtrisch ist.

Answer 2

Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/483888/beweis-verkettung-von-relationen

Für das Gegenbeispiel brauchst du also zwei mit

\(S \circ R\) ≠ \(R \circ S\)