Aufgabe:
Äquivalenz beweisen
Problem/Ansatz:
Hallo, meine Aufgabe lautet: Sei (G,*, 1) ein Tripel bestehend aus einer Menge G, einer Verknuepfung * auf G und einem Element e aus G. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
i) Das Tripel(G,*,1) ist eine Gruppe
ii) 1) a * (b*c) = (a*b) * c
2) e * a = a für alle a aus G
3) Zu jedem a aus G existiert ein b aus G, sodass a*b = e.
Ich muss also zeigen das aus i) -> ii) und umgekehrt.
i) -> ii) ergibt sich ja von selbst, da wenn das Tripel eine Gruppe darstellt, auch die Gruppenaxiome erfüllt sein müssen.
Nur umgekehrt tue ich mich da ein bisschen schwer. Wie muss ich vorgehen ? Muss ich zeigen das die Aussagen stimmen und es sich dementsprechend um eine Gruppe handeln muss, oder muss ich zeigen das sich die Aussagen auseinander ableiten lassen.
Also mein Lösungsansatz sieht momentan wie folgt aus:
Angenommen es gilt 3), dann gibt es zu jedem a aus G ein b, so dass a*b = e.
Wir erweitern mit a und erhalten: (a*b) * a = e * a <-> e * a = a. Aus 3) folgt also 2).
Jetzt müsste ich ja noch zeigen das aus 2) 1) folgt. Könnte ich einfach annehmen das b,c = e sind ? Dann würde ich nämlich erhalten: a*(b*c) = a * e = e * a = (a*b) * c.
Ich glaube ich stehe da etwas auf dem Schlauch. Vielen Dank im voraus für eine Antwort.
