Ich denke der Ansatz ist richtig nur wie übertrage ich das nun in die Gaußsche Zahlenebene?

Question

Aufgaben:

Skizzieren Sie die folgenden Mengen komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene:

a) z element von C: |z| >1-Re(z)

b) z element von C: Re(z+2) >= Im(z)

c) z element von C: |z| <= 1, |z-0,5|>=0,5

Problem/Ansatz:

a) |z|>1-a bzw. |z| + a > 1

Ich denke der Ansatz ist richtig nur wie übertrage ich das nun in die Gaußsche Zahlenebene?

b) a + 2 >= b, bzw. a + 2 - b >= 0, bzw. a >= b - 2

Genau das selbe Problem wie übertrage ich das in die Gaußsche Zahleneben falls der Ansatz überhaupt richtig ist?

c) Kann man hier direkt aus der Form herauslesen, das es sich um einen Kreis mit Mittelpunkt an der Stelle 0,5 auf der Achse des Re(z) und einem Radius von 0,5 handelt? Menge hier außerhalb des Kreises. Und |z| <= 1, wäre das einfach ein Kreis im Ursprung mit dem Radius 1 (Menge im Kreis)? Würde sich die gemeinsame Menge dann einfach aus den übereinstimmenden Mengen beider Teile ergeben?

Danke schon einmal für die ganzen Hilfen bin hier leider echt schon lange am Verzweifeln...

Answer 1

Hallo,

es gibt doch so schöne Tools, wie das Desmos. Wenn \(z= x + iy\), dann ist bei (a) $$\sqrt{x^{2}+y^{2}}>1-x$$

https://www.desmos.com/calculator/83liy3zduw

und bei (b)$$x+2\ \ge\ y$$

https://www.desmos.com/calculator/potndygmex

(Drücke auf das 'Desmos' unten rechts im Bild)

und bei (c)

Kann man hier direkt aus der Form herauslesen, das es sich um einen Kreis mit Mittelpunkt an der Stelle 0,5 auf der Achse des Re(z) und einem Radius von 0,5 handelt? Menge hier außerhalb des Kreises. Und |z| <= 1, wäre das einfach ein Kreis im Ursprung mit dem Radius 1 (Menge im Kreis)? Würde sich die gemeinsame Menge dann einfach aus den übereinstimmenden Mengen beider Teile ergeben?

genauso! Es ist die Schnittmenge. Die sieht aus wie eine Mondsichel. Und wenn Du noch Fragen hast, so melde dich bitte.

Comments

Danke für die Antwort.

Wie könnte ich allerdings bei a bzw. b beweisen/zeigen, das ich durchs rechnen auf die gezeichnete Menge komme und nicht durchs plotten?

LG

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Wie könnte ich allerdings bei a bzw. b beweisen/zeigen, das ich durchs rechnen auf die gezeichnete Menge komme und nicht durchs plotten?

Nehme die Ungleichung \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}>1-x\) als Grundlage. Im Plot siehst Du, dass die Grenze eine nach links offene Parabel ist. Forme die Gleichung nach \(x\) um. Weil man die Umgleichung deshalb quadriert, ist eine Fallunterscheidung notwendig.

1.Fall $$1-x \lt 0 \implies x \gt 1$$aber dann ist die Ungleichung eh' erfüllt, da die Wurzel nie negativ wird. D.h. in der Gaußschen Zahlenebene ist alles rechts von \(1\) in der Lösungsmenge enthalten.

2.Fall: \(1-x \ge 0\) dann kann man die Ungleichung quadrieren, da auf beiden Seiten ein positiver Ausdruck steht$$\begin{aligned} \sqrt{x^{2}+y^{2}} &\gt 1-x \\ x^2 + y^2 &\gt 1 - 2x + x^2 \\ y^2 &\gt 1 - 2x \\ 2x &\gt 1 - y^2 \\ x &\gt \frac 12 (1-y^2)\end{aligned}$$D.h. die Grenze wird durch eine liegende Parabel gebildet. Die Parabel selbst gehört nicht zur Lösungsmenge. Aber alles was rechts davon liegt.

Die Aufgabe (b) ist noch viel einfacher und (c) hast Du selber schon gelöst. Zeichne es einfach auf.

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Okay super, jetzt ist mir das Thema schon etwas klarer geworden.

Danke und frohe Weihnachten.