Zeigen Sie, dass es nur einen Morphismus von G nach H gibt.

Question

Heeyy Leute,

ich hänge bei folgender Aufgabe und komme leider nicht weiter:

(a) Es seien G und H zwei endliche Gruppen, deren Ordnungen |G| und |H| keinen gemeinsamen Teiler größer 1 besitzen. Zeigen Sie, dass es nur einen Morphismus von G nach H gibt.

(b) Bestimmen Sie alle Morphismen von Z9 nach Z11 sowie von Z9 nach Z12.

Bei diesem Thema blicke ich noch nicht so durch und komme mit den Skripten und Videos, die online zu finden sind, nicht klar.

Wäre für jede Hilfe sehr dankbar! :))

Answer 1

(a) Zeige (mit Lagrange), dass Im f Teiler von G und H ist -> Im f = {e}

(b) Für Z_9 und Z_11 nutze (a), für Z_9 und Z_12 betrachte das Bild von 1 (Z_9 ist zyklisch). Mit Lagrange kommst du dann auf 3 mögliche Fälle für das Bild von 1, zeige, dass diese auch wirklich Morphismen geben.

PS: Bei AGS helf ich gerne:D

Comments

Danke für deine schnelle Antwort! :)

Dein Angebot bezüglich AGS nehme ich gerne an, bin eine totale Niete in dem Fach :D

Seien G und H zwei Gruppen und f: G→H ein Homomorphismus. Dann gilt:
(i) ker(f) ist ein Normalteiler in G

(ii) im(f) ist Untergruppe von H

Wäre mein Ansatz so richtig? Die Beweise zu (i) und (ii) hätte ich auch.

Liebe Grüße

Nicole :)

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Ja also das Bild ist eine Untergruppe, damit hast du dann für (a), dass

|Im(f)| | |H| (Lagrange)

Und mit dem Isomorphiesatz und Lagrange

Im(f) = G / Ker(f) => |Im(f)| = |G| / |Ker(f)|

da jetzt ggT(|G|,|H|)=1 => |Im(f)| = 1 => Nur der triviale Morphismus.

PS: Wenn du es mal besprechen möchtest/Fragen hast, ist kein Problem, gibt aber glaube ich keine PN hier:D

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Auch wenn ich nicht der Fragensteller bin, würde mich mal interessieren, wie du das von Z9 in Z12 machen würdest. habe so eine ähnliche Aufgabe wo ich nicht wirklich weiterkomme...

weil Z12 ist mit Lagrange ja entweder Z12*Z1 oder Z3*Z4 oder Z6*Z2, aber wie sieht dann das Bild von 1 aus?

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Hmm also du könntest dir ja direkt das Bild von 1 in Z12 betrachten, z.B. wenn 1->2, dann in Z9 0 = 9 -> 18 = 6 ungleich Null in Z12, was ja nicht sein kann, weil das neutrale Element auf das neutrale Element abgebildet werden muss. So kannst du dir dann mögliche  Bilder von 1 betrachten und ausschließen.

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nur damit ich das richtig verstanden habe: f: G -> H, n -> 4*n wäre dann ein möglicher Morphismus? genauso wie n-> 0* n (trivialer morphismus) und den letzten finde ich (noch) nicht. der letzte müsste n -> 8*n sein

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Genau, für Multiplikation mit 4 bzw. 8 kannst du es zumindest nicht ausschließen (und der triviale Morphismus existiert immer).