Ebenengleichung aufstellen parallel zu 2 Geraden

Question

Sei Gerade g durch die Parameterdarstellung \( \begin{pmatrix} 8\\0\\0 \end{pmatrix} \) + a \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \)
und Gerade h durch die Parameterdarstellung \( \begin{pmatrix} 0\\-6\\0 \end{pmatrix} \) + b \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) gegeben.

Bestimmen Sie die Gleichung (parameterfreie Form) der Ebene, die parallel zu beiden Geraden ist und zu beiden den
gleichen Abstand hat

Answer 1

Verwende die Richtungsvektoren der Geraden als Richtungsvektoren der Ebene.

Bestimme einen Vektor \(\vec{n}\), der senkrecht zu beiden Richtungsvektoren ist.

Löse die Gleichung

        \(\begin{pmatrix} 8\\0\\0 \end{pmatrix} +a\cdot \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\-6\\0 \end{pmatrix} +b\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} + c\cdot \vec{n}\)

Setze die Werte für \(a\) und \(b\) in die Parameterdarstellung der jeweiligen Gerade ein. Ergebnisse sind Ortsvektroren zweier Punkt \(P\) und \(Q\).

Die Ebene verläuft durch den Mittelpunkt der Strecke \(PQ\).

Comments

kann ich für n den nullvektor nehmen?

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irgendwie versteh ich immer noch nicht ganz wie ich das tun soll

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wenn ich das kreuzprodukt von den richtungsvektoren nehme, kommt der nullvektor raus

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kann ich für n den nullvektor nehmen?

Nein

wenn ich das kreuzprodukt von den richtungsvektoren nehme, kommt der nullvektor raus

Dann hast du dich verrechnet.

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okay also ich habe für n -1 -1  2 rausbekommen, wie löse ich jetzt die gleichung auf?

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okay also ich habe für n -1 -1  2 rausbekommen

Sieht gut aus.

wie löse ich jetzt die gleichung auf?

\(\begin{aligned}\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}+a\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}0\\-6\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix} && |-a\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}0\\-6\\0\end{pmatrix}-a\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix} &  & |-\begin{pmatrix}0\\-6\\0\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}8\\6\\0\end{pmatrix} & =-a\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}8\\6\\0\end{pmatrix} & =a\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}\end{aligned}\)

Jetzt in eine Gleichungssystem überführen und wie jedes andere lineare Gleichungssystem lösen.

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okay dankeschön (:

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ist der mittelpunkt der strecke dann \( \begin{pmatrix} -17,5\\-3,5\\-7 \end{pmatrix} \)

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also ich verstehe das noch nicht so ganz

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helpmathe schrieb:

können Sie mir das auch nochmal schritt für schritt erklären?

Gesucht ist eine Ebene, die zwischen den Geraden \(h\) und \(g\) liegt, zu beiden parallel ist und von beiden den gleichen Abstand hat.

Wie oswald schon beschrieben hat, berechne den Mittelpunkt \(M\) der Strecke zwischen den beiden Aufpunkten der Geraden:$$M = \frac 12 (P_g + P_h) = \frac 12 \left( \begin{pmatrix}8\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\ -6\\ 0\end{pmatrix}\right) \\ \quad = \begin{pmatrix}4\\ -3\\ 0\end{pmatrix} $$Dieser Punkt \(M\) ist bereits ein Punkt der Ebene. Ich habe mal versucht, dies bildlich darzustellen:

Die beiden Geraden \(g\) (gelb) mit rotem Richtungsvektor und \(h\) (grün) mit blauem Richtungsvektor verlaufen windschief. D.h. sie haben keinen Schnittpunkt und sind nicht parallel. Alle Mittelpunkte einer beliebigen Verbindungsstrecke zwischen den beiden Geraden liegt in der gesuchten Ebene (grün).

Mit der Kenntnis vom Punkt \(M\) kann man die Parameterform der gesuchten Ebene \(E\) sofort hinschreiben.$$E: \space \vec x = \begin{pmatrix}4\\ -3\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}s$$Man übernimmt einfach die beiden Richtungsvektoren (rot & blau im Bild) als Richtungsvektoren dieser Ebene.

Nun ist aber nach der parameterfreien Form gefragt. Dazu bildet man das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. Das Ergebnis ist der Normalenvektor \(\vec n\):$$\vec n = \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1\\ 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1\\ 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 2\end{pmatrix}$$Die Normalenform bzw. Koordinatenform ist dann$$E: \quad \vec n \cdot \vec x = \vec n \cdot \vec m$$\(\vec m\) ist der Ortsvektor - in Zahlen:$$E: \quad \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 2\end{pmatrix} \vec x = \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\ -3\\ 0\end{pmatrix} \\ \quad = 1 \cdot (-4) + (-1)\cdot (-3) + 2 \cdot 0 = -1$$oder eben in der Koordinatenform:$$E: \quad -x-y+2z=-1$$was aber dasselbe ist, nur in einer anderen Schreibweise.

Wichtig: Mache Dir ein Bild! klicke oben auf das Bild und rotiere anschließend die Szene mit der Maus. Es ist extrem hilfreich einen räumlichen Eindruck davon zu bekommen. Und frage möglichst konkret nach, was genau Du nicht verstanden hast.