Hallo, die Spaltensummennorm ist eine Matrixnorm für eine Matrix \(A\in \mathbb{K}^{m,n}\). Um nun zu zeigen, dass die Spaltensummennorm \(\|A\|_1\) durch die \(l^1\)-Norm erzeugt (induziert) wird, musst du diese Gleichheit zeigen:$$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \|A\|_1=\max\limits_{j=1,...,n}\left( \sum\limits_{i=1}^m |a_{ij}|\right ).$$
Am besten ist es, den Summenausdruck nach oben und nach unten abzuschätzen, also diese beiden Ungleichungen zu zeigen:
$$\qquad \qquad \qquad \max\limits_{j=1,...,n}\left( \sum\limits_{i=1}^m |a_{ij}|\right ) \leq \|A\|_1\leq \max\limits_{j=1,...,n}\left( \sum\limits_{i=1}^m |a_{ij}|\right ).$$
Für die rechte Ungleichung kannst du zunächst damit beginnen den Ausdruck
\(\|A\cdot x\|_1=\left \|\begin{pmatrix} \sum\limits_{j=1}^n a_{1j}\cdot x_j\\\vdots\\\sum\limits_{j=1}^n a_{mj}\cdot x_j\end{pmatrix} \right \|_1\) (*)
(\(l^1\)-(Vektor)-Norm) nach oben abzuschätzen (mittels Dreiecksungleichung), wobei \(x\in \mathbb{K}^n\). Damit hast du also
\(\|A\cdot x\|_1 \leq \max\limits_{j=1,...,n}\left( \sum\limits_{i=1}^m |a_{ij}|\right )\cdot \|x\|_1 \). Nun kannst mit einer zur Operatornorm \(\|A\|_1\) äquivalente Definition benutzen: $$ \| A \|_1 = \min \left\{ r \geq 0 : \| Ax \|_1\leq r\cdot \| x \|_1 \; , \forall \; x \neq 0 \right\}. $$
Mit der Veträglichkeit der Operatorm ist also
\(\|A\cdot x\|_1\leq \|A\|_1\cdot \|x\|_1\leq \max\limits_{j=1,...,n}\left( \sum\limits_{i=1}^m |a_{ij}|\right )\cdot \|x\|_1\\\Rightarrow \|A\|_1 \leq \max\limits_{j=1,...,n}\left( \sum\limits_{i=1}^m |a_{ij}|\right ) \).
Für die linke Ungleichung hilft es die \(j_0\)-te Spalte zu wählen, sodass
\(\sum\limits_{i=1}^m |a_{ij_0}|=\max\limits_{j=1,...,n}\left( \sum\limits_{i=1}^m |a_{ij}|\right )\) gilt. Weiter definiert man nun \(x\in \mathbb{K}^n\) durch \(x=e_{j_0}\), sodass \(\|x\|_1=1\) gilt.
Damit ist nun \(\|A\|_1=\|A\|_1\cdot \|x\|_1\geq \|A\cdot x\|_1\). Nutze für die weitere Abschätzung nach unten (*) und die Konstruktion von \(x\) aus.
