Wie berechnet man Oberfläche von Kugel, wenn nur die seitenlänge vom würfel angegeben ist?

Question

Aufgabe:

Hallo meine Aufgabe lautet so:

Also ein Marmorwürfel hat eine Seitenlänge von 15cm.

Und aus ihm soll eine möglichst große Kugel herausgearbeitet werden.

Und jetzt soll ich die Oberfläche des Würfels und der Kugel berechnen.

Problem:

Also die Oberfläche des Würfels habe ich schon berechnet

Aber wie berechnet man jetzt die Oberfläche von der Kugel damit?

:)

Answer 1

Aloha Anonymhuhi ;)

Willkommen in der Mathelounge...

Der Marmorwürfel hat eine Seitenlänge von \(15\,\mathrm{cm}\), daher ist der Durchmesser der größtmöglichen Kugel auch \(15\,\mathrm{cm}\). Der Radius der Kugel ist die Hälfte davon, also \(r=7,5\,\mathrm{cm}\).

Die Oberfläche der Kugel ist daher:

$$F_{\text{Kugel}}=4\pi\,r^2\approx706,86\,\mathrm{cm}^2$$

Comments

Omg vielen Dank!

Ich hätte noch eine frage, vielleicht kannst du mir dabei auch helfen?

Also die nächste Aufgabe dazu wäre:

Um wie viel Prozent weicht die Oberfläche der Kugel von der des Würfels ab?

Wie sollte man dann dort die Prozentzahl berechnen?

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Die Oberfläche des Würfels ist$$F_{\text{Würfel}}=6a^2$$Die Oberfläche der Kugel ist$$F_{\text{Kugel}}=4\pi\,r^2$$Der Radius ist \(r\) ist halb so groß wie die Kantenlänge \(a\), also:$$r=\frac{1}{2}a$$Setzen wir das in die Formel für die Kugeloberfläche ein, bekommen wir:$$F_{\text{Kugel}}=4\pi\,\left(\frac{a}{2}\right)^2=4\pi\,\frac{a^2}{4}=\pi\,a^2$$Das Verhältnis von Kugeloberfläche zu Würfeloberfläche ist daher:

$$\frac{F_{\text{Kugel}}}{F_{\text{Würfel}}}=\frac{\pi\,\cancel{a^2}}{6\,\cancel{a^2}}=\frac{\pi}{6}\approx0,523599$$

Die Kugelobefläche beträgt also nur \(52,4\%\) der Würfeloberfläche und weicht damit um \(47,6\%\) von dieser ab.

Answer 2

Hallo,

die Kugel hat den Radius \(r=\frac{15}{2}\text{ cm}=7.5 \text{ cm}\). Die Oberfläche einer Kugel ist die Ableitung des Volumens, also \(O=4\pi r^2\)