Aufgabe:
Es sei (P,G,I) eine Inzidenzstruktur, die die Axiome (1), (2) und (3) — die
Axiome einer Inzidenzgeometrie — erfüllt.(P ist Menge, deren Elemente Punkte heißen, G ist Menge, deren Elemente Geraden heißen, I ist Relation zwischen P und G.)
Begründe, dass in einer Inzidenzgeometrie, in der das Parallelenaxiom erfüllt ist, die Menge P mindestens vier Elemente haben muss.
Problem/Ansatz:
-seien P,Q,R 3 nicht kollineare Punkte (nach (3))
-es gilt: p= (QR), q= (PR), r= (PQ)
-diese Geraden sind nicht parallel, da sie gemeinsame Punkte aufweisen
-auch die Parallelen p´, q´ und r´ dazu sind nicht parallel (die Parallelität in einer affinen Ebene ist eine Äquivalenzrelation)
-setze nun P´:= q´geschnitten r´ usw.
-wir sehen, dass alle Geraden verschieden sind: p ist ungleich p´, da P mit p´
inzidiert, aber nicht mit p
-p´ ist ungleich q, da p´ parallel zu p ist, was wiederum nicht parallel zu q ist
-P´ist ungleich P,Q,R, weil P´mit q´und r´ inzidiert, aber P´nicht mit q und r inzidiert
−q vereinigt r enthalten aber alle Punkte
Ist mein Beweis so ok?
Die Axiome habe ich genutzt:
Inzidenzaxiome:
(1) Jede Gerade inzidiert mit mindestens zwei Punkten.
(2) Je zwei Punkte inzidieren mit genau einer Geraden.
(3) Es gibt drei nicht-kollineare Punkte.
Parallelenaxiom:
(4) Zu jedem Punkt P und jeder Geraden g existiert genau eine Gerade h mit P ist Element von h und g II h.
