Aloha BigB :)
Wir führen zuerst eine Partialbruchzerlegung der Summenglieder durch:$$a_n=\frac{2}{n(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+2}$$Ich habe extra einen Zwischenschritt eingebaut, damit das Berechnungsprinzip klar wird, du kannst \(A\), \(B\) und \(C\) aber auch direkt als Zahlenwerte schreiben.$$A=\frac{2}{\cancel{n}(0+1)(0+2)}=\frac{2}{2}=1$$$$B=\frac{2}{(-1)\cancel{(n+1)}(-1+2)}=\frac{2}{-1}=-2$$$$C=\frac{2}{(-2)(-2+1)\cancel{(n+2)}}=\frac{2}{2}=1$$Also haben wir gefunden:$$a_n=\frac{2}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}$$
Nach dieser Vorüberlegung wenden wir uns der Summe zu:
$$S_N\coloneqq\sum\limits_{n=1}^N a_n=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n}-2\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n+1}+\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n+2}=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n}-2\sum\limits_{n=2}^{N+1}\frac{1}{n}+\sum\limits_{n=3}^{N+2}\frac{1}{n}$$$$\phantom{S_N}=\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=3}^N\frac{1}{n}\right)-2\left(\frac{1}{2}+\sum\limits_{n=3}^{N}\frac{1}{n}+\frac{1}{N+1}\right)+\left(\sum\limits_{n=3}^{N}\frac{1}{n}+\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}\right)$$$$\phantom{S_N}=\frac{3}{2}-1-\frac{2}{N+1}+\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}$$
Damit haben wir den gesuchten Wert der Summe gefunden:$$S_\infty=\lim\limits_{N\to\infty}S_N=\frac{1}{2}$$
