Konvergenz von Integralen bei Lipschitz?

Question

Aufgabe:

Sei g : (0, 1) → R eine stetige Funktion, derart dass das Integral

f(x) := Integral von 0 nach x(g(y) dy) fur alle x ∈ (0, 1) konvergiert. Zeigen Sie, dass bei geeigneter zusatzlicher Voraussetzung an g die Funktion f lipschitz-stetig Ist. Finden Sie diese zusatzliche Voraussetzung und geben Sie auch ein Gegenbeispiel an.

Ich weiß leider nicht, wo genau ich anfangen kann oder was die ersten Schritte sind. Wie kann ein Integral konvergieren?

Danke für die Hilfe :)

Problem/Ansatz:

Ich habe mir den Satz angeguckt und ihn denke ich auch verstanden. Auch hab ich mir nochmal genau angeguckt was lipschitz stetig ist. Wie kann ich es so umformen, dass ich checke, was die Voraussetzung ist? Der Mittelpunktsatz wird mir hielfen können aber ich weiß nicht inwiefern

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Ich hab jetzt gerechnet und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:

Wir können uns eine Lipschitz Konstante wählen, wenn epsilon so ex. dass gilt:

epsilon ∈ (0, 1) UND g(epsilon) * |x-y| = Integral von y nach x( g(a) )

Ist das richtig?

Answer 1

Wenn \( g \) stetig auf dem Intervall \( [0,1] \) ist, dann ist \( g \) auch integrierbar. Um Lipschitzstetigkeit zu beweisen muss folgendes betrachtet werden $$ | f(x) - f(y) | = \left| \int_0^x g(s) ds - \int_0^y g(s) ds \right| = \left| \int_y^x g(s) ds \right| = \left| (x-y) g(\tau) \right| $$ mit \( \tau \in [0,1] \) nach dem Zwischenwertsatz für die Integralrechnung. Also gilt $$ | f(x) - f(y) \le \left| \max_{ \tau \in [0,1]} g(\tau) \right| |x-y| = L |x-y| $$ mit \( L = \left| \max_{ \tau \in [0,1]} g(\tau) \right| \)

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Jetzt machts Sinn, danke!