Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante, Monotonie zeigen

Question

Aufgabe:

kann mir bitte jemand bei folgenden Aufgaben weiterhelfen?

(i) Es sei \( f:[0,1] | \rightarrow[0,1] \) Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante \( L \geq 0 \) und \( g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
$$ g(x):=\frac{1}{1+L} f(x)+\frac{L}{1+L} x $$
Ferner sei zu einem \( x_{0} \in[0,1] \) die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty} \) rekursiv definiert durch \( x_{n+1}:=g\left(x_{n}\right)\left(n \in \mathbb{N}_{0}\right) \)
(a) Zeigen Sie, dass die Funktion \( g \) monoton wachsend ist.
(b) Zeigen Sie: \( x_{n} \in[0,1] \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} . \)
(c) Zeigen Sie: Gilt \( x_{0} \leq x_{1} \) so ist \( \left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty} \) monoton wachsend. Gilt \( x_{0} \geq x_{1} \) so ist \( \left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty} \) monoton fallend.
(d) Zeigen Sie, dass \( \left(x_{n}\right)_{n=0}^{\infty} \) gegen einen Fixpunkt von \( f \) konvergiert.

Mir ist auch nicht ganz klar, was ein Fixpunkt sein soll.

Answer 1

Hi,

zu (a)

Sei \( x_2 > x_1 \). Dann gilt $$ g(x_2) - g(x _1) = \frac{1}{1+L} \left( f(x_1) - f(x_2)  \right) + \frac{L}{1+L} (x_1 - x_2) $$ Weil \( f \) Lipschitz-steitig ist gilt $$  -L |x_1 - x_2 | \le f(x_1) - f(x_2) \le L |x_1 - x_2| $$ daraus ergibt sich

$$ g(x_2) - g(x _1) \le \frac{L}{1+L} ( |x_1 - x_2| + (x_1 - x_2) ) = 0  $$ Also ist \( g \) monoton wachsend.

zu (b)

Per Induktion. Für \( n = 1 \) gilt $$  x_1 = \frac{1}{1+L}f(x_0) + \frac{L}{1+L}x_0 $$ Da \( x_0 \in [0,1] \) und \( f(x_0) \in [0,1] \) folgt die  Behauptung für \( n = 1 \). Der Induktionsschluss geht genauso und auch der Fall \( x_1 \le x_0 \)

zu (c)

Für \( x_1 \ge x_0 \) gilt $$ x_2 = g(x_1) \ge g(x_0) = x_1 $$ Das ist der Induktionsanfang. Der Induktionsschluss geht genauso.

Zu (d)

Die Folge \( x_n \) ist monoton und beschränkt, also konvergent. Es gilt $$ x_{n+1} = g(x_n) = \frac{1}{1+L} f(x_n) + \frac{L}{1+L} x_n  $$ Da der Grenzwert der Folge \( x_n \) ex. gilt \( \lim_{x\to\infty} x_n = x \) und damit

$$  \lim_{n\to\infty} x_{n+1} = x = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{1+L} f(x_n) + \frac{L}{1+L} x_n \right) = \frac{1}{1+L} f(x) + \frac{L}{1+L} x $$ und daraus folgt $$ x = f(x) $$ D.h. der Gerenzwert der Folge \( x_n \) ist ein Fixpunkt von \( f \)