Question

Bestimmen Sie den maximalen Abstand eines Punktes der Ellipse mit der Gleichung G(x,y)=36x²+196y²=7056 vom Punkt (x₀,y₀)=(0,−8)

Numerische Eingabe mit 4 Stellen Genauigkeit nach dem Komma

Es würde mir erst einmal genügen, wenn mir einer die Lagrange Funktion aufstellen könnte (mit Erklärung bitte). Der Rest sollte dann hoffentlich klappen.

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Okay, ich komme jetzt auf

lambda=-1/36

y=1,8

x=14,6141

Was muss ich dann jetzt für "x_max=+-....." aufschreiben?

Answer 1

Hallo,

Zu maximieren ist der Abstand zu einem gegebenen Punkt \((0,\,-8)\) $$d = \left| (x,\,y) - (0,\,-8))\right| \to \max$$bzw.: $$d^2 = \left((x,y) - (0,\,-8)\right)^2 = x^2 + (y+8)^2 \to \max $$Mit der Nebenbedingung$$36x^{2}+196y^{2}-7056 = 0$$Das gibt die Lagrange-Funktion und deren Ableitungen$$\begin{aligned}L (x,\,y,\ \lambda) &= x^2 + (y+8)^2 + \lambda(36x^{2}+196y^{2}-7056) \\ \frac{\partial L}{\partial x} &= 2x + 72x\lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} &= 2(y+8) + 392 y\lambda = 0 \\ 49xy &= 9(y+8)x &&|\, x=0\\ 49y  &= 9y + 72 \\ 40y &= 72\\ 5y &= 9 \\ y &= \frac 95 \\ \end{aligned}$$Die beiden Lösungen \(x=0\) und \(y=9/5\) kann man nun in die Nebenbedingung einsetzen. Relevant ist nur \(y=9/5\)$$\begin{aligned}36x^{2}+196\left( \frac 95\right)^{2} &=7056 \\ 36 \cdot 25 x^2 &= 7056 \cdot 25 - 196 \cdot 81 = 160524 \\ 25 x^2 &= 4459 \\ x_{1,2} &= \pm \frac 75 \sqrt{91}\end{aligned}$$Und damit ergibt sich ein maximaler Abstand $$d = \sqrt{x^2 + (y+8)^2} = \frac 15 \sqrt{6860} \approx 16,5650$$Das ganze im Bild:

https://www.desmos.com/calculator/tcwmf8ndjb

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Okay, vielen Dank, hat gepasst :) sehr schön, ausführlich und verständlich erklärt.

Answer 2

Punkt (x;y) hat von (0,−8) den Abstand d(x,y)=√( (x-0)^2 + (y-(-8)^2 )

Allerdings ist der maximal, wenn der Term ohne Wurzel maximal ist, also

z(x,y) = x^2 + (y+8)^2 = x^2 + y^2 + 16y + 64  soll maximal sein

mit der Nebenbedingung : (x,y) auf der Ellipse, also 36x2+196y2=7056

bzw  36x^2+196y^2-7056=0

==>   L(x,y ,λ) =  x^2 + y^2 + 16y + 64  +  λ(36x^2+196y^2-7056)

sieht so aus ~plot~ sqrt(36-9*x^2/49);-sqrt(36-9*x^2/49);[[-15|15|-10|10]] ~plot~

Answer 3

Die Ellipsengleichung kann man auch schreiben als

y = -3/7 sqrt(196 - x^2)

und der Abstand ergibt sich nach Pythagoras als

\( \sqrt{x^{2}+\left(-\frac{3}{7} \sqrt{196-x^{2}}+8\right)^{2}} \)

Mein Maximum in Dezimalschreibweise ist ≈ 16,1245154965971 bei x = ± 14.

(Da habe ich mich vertan, Korrektur weiter unten in einem Kommentar von mir).

Comments

Ich komme für x auf 14.6164...

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Ich komme für x auf 14.6164...

Liegt das auf der Ellipse?

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@döschwo:

Bist du dir da sicher ?

mfG

Moliets

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So wie die Ellipse geplottet ist, liegt das nicht auf der Ellipse... und nein, sicher bin ich mir natürlich nicht :(

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Text erkannt:

Ohne Lagrange:
1. \( ) 36 x^{2}+196 y^{2}=7056 \)
2. \( ) x^{2}+(y+8)^{2}=r^{2} \rightarrow x^{2}=r^{2}-(y+8)^{2} \in 1 . \)
\( 36 \cdot\left[r^{2}-(y+8)^{2}\right]+196 y^{2}=7056 \)
Wolfram
\( r=14 \sqrt{\frac{7}{5}} \approx 16,56502 \)
\( y=\frac{9}{5} \)
\( x=\ldots \)

mfG

Moliets

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Bist du dir da sicher ?

@Moliets   Ich habe meinen Fehler gefunden. Das -3/7 soll 3/7 sein, weil man vom Punkt (0, -8) aus ja zur oberen Hälfte der Ellipse will.

Answer 4

Weg über das implizite Differenzieren:

\(e(x,y)=36x^2+196y^2-7056\) vom Punkt P\( (0|−8)\)

\(e_x(x,y)=72x\)

\(e_y(x,y)=392y\)

\(e'(x)=-\frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{9x}{49y}\)

Kreis um P\( (0|−8)\):

\(k(x,y)=x^2+(y+8)^2-r^2\)

\(k_x(x,y)=2x\)

\(k_y(x,y)=2(y+8)\)

\(k'(x)=-\frac{x}{y+8}\)

Im Schnittpunkt müssen die Tangentensteigungen gleich sein:

\(-\frac{9x}{49y}=-\frac{x}{y+8}\)

\(y=\frac{9}{5}\) einsetzen in   e \(36x^2+196y^2=7056\):

\(36x^2+196\cdot \frac{81}{25}=7056\)

\(x_1=\frac{7}{5}\sqrt{91}\)

\(x_2=-\frac{7}{5}\sqrt{91}\)

Maximaler Abstand:

k: \((\frac{7}{5}\sqrt{91})^2+(1,8+8)^2=r^2\)

\(274,4=r^2\)

\(r=16,565\)