Question

Bestimmen Sie den maximalen Abstand eines Punktes der Ellipse mit der Gleichung G(x,y)=36x²+196y²=7056 vom Punkt (x₀,y₀)=(0,−8)

Numerische Eingabe mit 4 Stellen Genauigkeit nach dem Komma

Es würde mir erst einmal genügen, wenn mir einer die Lagrange Funktion aufstellen könnte (mit Erklärung bitte). Der Rest sollte dann hoffentlich klappen.

Comments

Okay, ich komme jetzt auf

lambda=-1/36

y=1,8

x=14,6141

Was muss ich dann jetzt für "x_max=+-....." aufschreiben?

Answer 1

Hallo,

Zu maximieren ist der Abstand zu einem gegebenen Punkt \((0,\,-8)\) $$d = \left| (x,\,y) - (0,\,-8))\right| \to \max$$bzw.: $$d^2 = \left((x,y) - (0,\,-8)\right)^2 = x^2 + (y+8)^2 \to \max $$Mit der Nebenbedingung$$36x^{2}+196y^{2}-7056 = 0$$Das gibt die Lagrange-Funktion und deren Ableitungen$$\begin{aligned}L (x,\,y,\ \lambda) &= x^2 + (y+8)^2 + \lambda(36x^{2}+196y^{2}-7056) \\ \frac{\partial L}{\partial x} &= 2x + 72x\lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} &= 2(y+8) + 392 y\lambda = 0 \\ 49xy &= 9(y+8)x &&|\, x=0\\ 49y  &= 9y + 72 \\ 40y &= 72\\ 5y &= 9 \\ y &= \frac 95 \\ \end{aligned}$$Die beiden Lösungen \(x=0\) und \(y=9/5\) kann man nun in die Nebenbedingung einsetzen. Relevant ist nur \(y=9/5\)$$\begin{aligned}36x^{2}+196\left( \frac 95\right)^{2} &=7056 \\ 36 \cdot 25 x^2 &= 7056 \cdot 25 - 196 \cdot 81 = 160524 \\ 25 x^2 &= 4459 \\ x_{1,2} &= \pm \frac 75 \sqrt{91}\end{aligned}$$Und damit ergibt sich ein maximaler Abstand $$d = \sqrt{x^2 + (y+8)^2} = \frac 15 \sqrt{6860} \approx 16,5650$$Das ganze im Bild:

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Okay, vielen Dank, hat gepasst :) sehr schön, ausführlich und verständlich erklärt.

Answer 2

Punkt (x;y) hat von (0,−8) den Abstand d(x,y)=√( (x-0)^2 + (y-(-8)^2 )

Allerdings ist der maximal, wenn der Term ohne Wurzel maximal ist, also

z(x,y) = x^2 + (y+8)^2 = x^2 + y^2 + 16y + 64  soll maximal sein

mit der Nebenbedingung : (x,y) auf der Ellipse, also 36x2+196y2=7056

bzw  36x^2+196y^2-7056=0

==>   L(x,y ,λ) =  x^2 + y^2 + 16y + 64  +  λ(36x^2+196y^2-7056)

sieht so aus ~plot~ sqrt(36-9*x^2/49);-sqrt(36-9*x^2/49);[[-15|15|-10|10]] ~plot~

Answer 3

Die Ellipsengleichung kann man auch schreiben als

y = -3/7 sqrt(196 - x^2)

und der Abstand ergibt sich nach Pythagoras als

\( \sqrt{x^{2}+\left(-\frac{3}{7} \sqrt{196-x^{2}}+8\right)^{2}} \)

Mein Maximum in Dezimalschreibweise ist ≈ 16,1245154965971 bei x = ± 14.

(Da habe ich mich vertan, Korrektur weiter unten in einem Kommentar von mir).

Comments

Ich komme für x auf 14.6164...

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Ich komme für x auf 14.6164...

Liegt das auf der Ellipse?

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@döschwo:

Bist du dir da sicher ?

mfG

Moliets

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So wie die Ellipse geplottet ist, liegt das nicht auf der Ellipse... und nein, sicher bin ich mir natürlich nicht :(

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Text erkannt:

Ohne Lagrange:
1. \( ) 36 x^{2}+196 y^{2}=7056 \)
2. \( ) x^{2}+(y+8)^{2}=r^{2} \rightarrow x^{2}=r^{2}-(y+8)^{2} \in 1 . \)
\( 36 \cdot\left[r^{2}-(y+8)^{2}\right]+196 y^{2}=7056 \)
Wolfram
\( r=14 \sqrt{\frac{7}{5}} \approx 16,56502 \)
\( y=\frac{9}{5} \)
\( x=\ldots \)

mfG

Moliets

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Bist du dir da sicher ?

@Moliets   Ich habe meinen Fehler gefunden. Das -3/7 soll 3/7 sein, weil man vom Punkt (0, -8) aus ja zur oberen Hälfte der Ellipse will.

Answer 4

Weg über das implizite Differenzieren:

\(e(x,y)=36x^2+196y^2-7056\) vom Punkt P\( (0|−8)\)

\(e_x(x,y)=72x\)

\(e_y(x,y)=392y\)

\(e'(x)=-\frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{9x}{49y}\)

Kreis um P\( (0|−8)\):

\(k(x,y)=x^2+(y+8)^2-r^2\)

\(k_x(x,y)=2x\)

\(k_y(x,y)=2(y+8)\)

\(k'(x)=-\frac{x}{y+8}\)

Im Schnittpunkt müssen die Tangentensteigungen gleich sein:

\(-\frac{9x}{49y}=-\frac{x}{y+8}\)

\(y=\frac{9}{5}\) einsetzen in   e \(36x^2+196y^2=7056\):

\(36x^2+196\cdot \frac{81}{25}=7056\)

\(x_1=\frac{7}{5}\sqrt{91}\)

\(x_2=-\frac{7}{5}\sqrt{91}\)

Maximaler Abstand:

k: \((\frac{7}{5}\sqrt{91})^2+(1,8+8)^2=r^2\)

\(274,4=r^2\)

\(r=16,565\)