Lineare Abbildung, Vektorraum !

Question

Aufgabe:

Seien \( V, W \) Vektorräume, sei \( \mathbf{w} \in W . \) Wie gebe ich (mit Beweis) eine hinreichende und notwendige Bedingung an, so dass die Abbildung
\(\begin{aligned}g: V & \rightarrow W \\\mathbf{v} & \mapsto \mathbf{w}\end{aligned}\)
linear ist.

Answer 1

Hinreichend und notwendig ist \(\mathbf{w}\) = 0.

Comments

Ja, ok. Aber könntest du bitte es beweisen ( also warum w=0)?

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Ist \(\mathbf{w}\) = 0, dann ist g(αv₁+v₂) = αg(v₁) + g(v₂) für alle v₁, v₂ ∈ V und alle α aus dem Körper.

Ist \(\mathbf{w}\) ≠ 0, dann ist g(v) = g(0 + v) = g(0) + g(v) = \(\mathbf{w}+\mathbf{w}\) ≠ \(\mathbf{w}\) für ein v ∈ V. Das ist ein Widerspruch zu g(v) = \(\mathbf{w}\).