Standardabweichung / Varianz berechnen.

Question

 

Ich habe erstmal eine Frage zur Standardabweichung bzw. Varianz.

 

Und zwar:

In meinem Skript steht:

Die empirische Varianz des Datensatzes (2,2,2,3,1) beträgt s²= 2/5 = 0,4 und des Datensatzes (1,5,2,1,1) beträgt s²y= 12/5 = 2,4.

 

Woher kommt die "2" bei "s²=2/5" und woher die "12" bei "s²y= 12/5" ???

das dividiert durch 5 ist klar.

Vermutlich weil 5 Zahlen in der Klammer stehen?

 

Answer 1

 

der Mittelwert des ersten Datensatzes beträgt

(2 + 2 + 2 + 3 + 1)/5 = 2

Die Varianz ist die Summe der Abweichungsquadrate (Einzelwert - Mittelwert)² dividiert durch die Anzahl der Elemente, also

[(2-2)² + (2-2)² + (2-2)² + (3-2)² + (1-2)²] / 5 = 2/5 = 0,4

 

2. Datensatz

Mittelwert =

(1 + 5 + 2 + 1 + 1)/5 = 2

Varianz =

[(1-2)² + (5-2)² + (2-2)² + (1-2)² + (1-2)²] / 5 = (1 + 9 + 0 + 1 + 1) / 5 = 12/5 = 2,4

 

Besten Gruß

Comments

Ok

 

Habe versucht mit der Anleitung die Aufgabe zu rechnen, um die es ursprünglich geht.

Leider ohne Erfolg :-/

 

Aufgabe:

 

Ein Unternehmen arbeitet zu Planungszwecken für die Werktage Montag bis Freitag bezogen auf die Zufallsvariable X = "Anzahl der Kunden pro Werktag" mit folgenden Wahrscheinlichkeiten:

 

Anzahl der Kunden pro Werktag                                       Wahrscheinlichkeit

          0                                                                                         0%

          1                                                                                         2%

          2                                                                                         8%

          3                                                                                         20%

          4                                                                                         30%

          5                                                                                         40%

 

Der Deckungsbeitrag pro Kunde beträgt 3€.

Die Fixkosten betragen pro Werktag 8€.

 

a.) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsvariablen Y="Gewinn in € pro Werktag".

 

Dann bin ich so vorgegangen, dass ich Funktion "Y=3€Deckungsbeitrag  x XKunden - 8€ Fixkosten"

Soweit so gut...

 

X                1             2          3          4          5    (Kunden)

Y               -5             -2         1          4          7    (Gewinn bei "X Kunden")

P (Y=y)      0,02         0,08     0,20    0,30      0,40 (Wahrscheinlichkeit s.o.)

 

Daraus ergibt sich für mich folgender Erwartungswert:

E(Y) = (-5) x 0,02 + (-2) x 0,08 + 1 x 0,20 + 4 x 0,30 + 7 x 0,40 = 3,94

 

Der Teil der Aufgabe war kein Ding...

 

Dann kommen wir aber zur Standardabweichung:

Die Lösung sieht so aus:

V(Y) = 8-5 - 3,94)² x 0,02 + (-2 - 3,94)² x 0,08 + (1 - 3,94)² x 0,20 + (4 - 3,94)² x 0,30 + (7 - 3,94)² x 0,40 = 9,8964

Dann wird noch die Wurzel von 9,8964 genommen und dann ist die Standardabweichung 3,145854

 

Jetzt meine Frage:

 

Woher soll die 3,94 in den Klammern kommen bzw. was muss ich dazu rechnen, um auf die 3,49 zu kommen?

 

---

Das wird ein bisschen dauern :-)

Aber ich schaue es mir heute Abend noch an!

---

0 Kunden, Gewinn = 0 * 3€ - 8€ = -8€ in 0% der Fälle

1 Kunde, Gewinn = 1 * 3€ - 8€ = -5€ in 2% der Fälle

2 Kunden, Gewinn = 2 * 3€ - 8€ = -2€ in 8% der Fälle

3 Kunden, Gewinn = 3 * 3€ - 8€ = 1€ in 20% der Fälle

4 Kunden, Gewinn = 4 * 3€ - 8€ = 4€ in 30% der Fälle

5 Kunden, Gewinn = 5 * 3€ - 8€ = 7€ in 40% der Fälle

Erwartungswert also:

0 * (-8) + 0,02 * (-5) + 0,08 * (-2) + 0,20 * (1) + 0,30 * (4) + 0,40 * (7) = 3,94

Gleiches Ergebnis wie Du :-)

 

Varianz:

[(-5 - 3,94)² * 0,02 + (-2 - 3,94)² * 0,08 + (1 - 3,94)² * 0,2 + (4 - 3,94)² * 0,3 + (7 - 3,94)² * 0,4] / 1 

= 9,8964

Standardabweichung = Wurzel aus der Varianz, also

√9,8964 ≈ 3,1458544149

 

Du hast also alles richtig gerechnet, prima!

 

Jetzt endlich zu Deiner Frage :-)

"Woher soll die 3,94 in den Klammern kommen bzw. was muss ich dazu rechnen, um auf die 3,94 zu kommen?"

Das ist schlicht und ergreifend der Mittelwert bzw. der Erwartungswert!

In unserer ursprünglichen Aufgabe (siehe ganz weit oben), hatten wir, um die Varianz zu berechnen, das Abweichungsquadrat jedes einzelnen Wertes vom Mittelwert berechnet, diese Abweichungsquadrate summiert und alles durch die Anzahl der einzelnen Werte dividiert.

Hier haben wir es ganz genauso gemacht, mit dem einzigen Unterschied, dass wir nicht die Abweichungsquadrate vom Mittelwert genommen haben, sondern die Abweichungsquadrate vom Erwartungswert, weil wir ja jetzt mit Wahrscheinlichkeiten gerechnet haben und nicht mit empirischen Ergebnissen.

 

Etwas klar geworden?

---

Super!

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!


Werde mich morgen mal hinsetzen und es mir genauer angucken.


Vielen Dank ! ! ! !

---

Sehr gerne!

Viel Spaß beim Nachrechnen :-)