Partialbruchzerlegung Aufgabe richtig?

Question

Aufgabe:

\( \int \frac{x-8}{2 x^{2}-7 x+3} \)

Problem/Ansatz:

Als Lösung hab ich:

\( \frac{x-8}{2 x^{2}-7 x+3}=\frac{-2}{(x-3)}+\frac{-3}{(x-0,5)} \) 

Stimmt mein Ergebnis so? :)

Answer 1

Aloha :)

Der Nenner zerfällt in folgende Linearfaktoren$$2x^2-7x+3=(2x-1)(x-3)$$

Daher machen wir den Ansatz:$$\frac{x-8}{2x^2-7x+3}=\frac{A}{2x-1}+\frac{B}{x-3}$$

Für die Parameter erhalten wir:$$A=\frac{\frac{1}{2}-8}{\cancel{(2x-1)}(\frac{1}{2}-3)}=\frac{\frac{-15}{2}}{\frac{-5}{2}}=\frac{15}{2}\cdot\frac{2}{5}=3$$$$B=\frac{3-8}{(2\cdot3-1)\cancel{(x-3)}}=\frac{-5}{5}=-1$$

Also lautet die Zerlegung:$$\frac{x-8}{2x^2-7x+3}=\frac{3}{2x-1}-\frac{1}{x-3}$$

Comments

Aber mit der kleinen Lösungformel hab ich für x1 = 3 und für x2= 0,5 rausbekommen. Stimmt das denn nicht?

So hab ich die Linearfaktoren berechnet...

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Ich kenne keine "kleine" Lösungsformel. Wenn ich dein Ergebnis "rückwärts" rechne, komme ich auf:$$\frac{20-10x}{2x^2-7x+3}$$. Der Nenner stimmt, aber der Zähler ist nicht \(x-8\).

Dein Ergebnis passt daher nicht, du musst dich irgendwo verrechnet haben.

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Ich glaube man nennt das auch Mitternachtsfomel...

danke trotzdem!