|z-1|=2 Komplexe Zahlen Gleichung

Question

Aufgabe:

|z-1|=2

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz war |z-1|=wurzel((z-1)^2)=z-1=2 <=> z=3, denke aber nicht, dass z dann definiert durch z=3+0i ist. Mein anderer Ansatz wäre für z=a+bi einzusetzen und den vorgang ähnlich zu wiederholen wie oben. Komme aber nicht wirklich auf eine Lösung. Könnte mir einer helfen?

Answer 1

Hallo,

es gilt:$$|z-1|=|x+iy-1|=|(x-1)+iy|=\sqrt{(x-1)^2+y^2}=2$$ Es handelt sich also um \((x-1)^2+y^2=4\), also einen Kreis mit Radius \(r=2\) und Mittelpunkt \((1,0)\), genauer den Kreisrand.

Verstehst du, warum \(z=1+2e^{ki}\), wobei \(k\in \mathbb{R}\)?
(Eulersche Formel)

Comments

\(z=1+2e^{kn}\) 

Dein z ist doch keine komplexe Zahl.

Du meinst wohl \(z=1+2e^{ki}\) ?

(Sorry, habe in deiner Antwort 'Bearbeiten' angeklickt, um Obiges zu kopieren und dann wohl aus Versehen "Änderungen speichern' statt 'Abbrechen' angeklickt)

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Mit der Vermutung liegst du vollkommen richtig.

Answer 2

|z - 1| = 2

z = x + y·i

|x + y·i - 1| = 2
|(x - 1) + y·i| = 2
√((x - 1)^2 + y^2) = 2
(x - 1)^2 + y^2 = 2^2

Das ist jetzt eine typische Kreisgleichung

(x - xm)^2 + (y - ym)^2 = r^2

Mit Mittelpunkt M(xm | ym) und dem Radius r.

Comments

Mit Mittelpunkt M(mx | my) und dem Radius r.

Sollte wohl 'Mit Mittelpunkt M(xm | ym) und dem Radius r'  lauten

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Richtig. Danke Wolfgang. Ich habe oben den Schreibfehler korrigiert.