Warum ist diese Darstellung identisch zu der obigen?

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Signumsfunktion sgn und die Betragsfunktion:
sgn(x) = { 1 für x > 0

             { 0 für x = 0                        f(x) = |x| = x · sgn(x)

           { −1 für x < 0

a) Für welche Stellen gibt sgn, welche Werte wieder.
b) Eine alternative Darstellung der Betragsfunktion lautet
|x| = { x für x ≥ 0
      {−x für x < 0
.
Warum ist diese Darstellung identisch zu der obigen?

Problem/Ansatz:

Für mich ist die ganze Aufgabe ein einziges Rätsel und ich hoffe hier kann jemand das Rätsel lösen.

Answer 1

Für welche Stellen die \( \text{ sgn}() \) Funktion welche Werte wiedergibt, steht ja da, da muss man nichts mehr erklären.

Das die beiden Definitionen für den Betrag die gleichen Werte liefern, sieht man wie folgt:

\(  f(x) = x \) für \( x > 0 \) weil \( \text{ sgn}(x) = 1 \). Ebenso gilt \( f(x) = -x \) für \( x < 0 \), ähnliche Begründung.

Und für \( x = 0 \) kommt beides mal Null raus. Also sind alle Fälle abgedeckt und ergeben das gleiche Ergebnis.