Wie Untersuche ich die Lage von zwei Ebenen?

Question

ich brauche  Hilfe bei folgendem Problem:
Ich soll die Lage von Ebenen zueinander (echt parallel/identisch) untersuchen, habe allerdings nur zwei Ebenengleichungen in der Koordinatenform. Muss ich jetzt eine Ebenengleichung in die Parameterform umwandeln, und wenn ja, wie geht das? Oder kann ich das auch mit zwei Koordinatengleichungen herausfinden.
E1: x+2y+3z=12
E2: 2x+4y+6z=16
ist die Aufgabe, an der ich verzweifle. Wäre nett, wenn mir jemand anhand dieser Aufgabe vormachen könnte, wie das geht!
LG

Answer 1

Du kannst die beiden Ebenen mit einem beliebigen Aufpunkt in die Normalform umformen:

E1: (1, 2, 3)*[(x, y, z) - (12, 0, 0)] = 0

E2: (2, 4, 6)*[(x, y, z) - (8, 0, 0)] = 0

 

Durch Ausmultiplizieren siehst du, dass die Definition äquivalent zur oberen ist.

Der Vektor vor der Differenz ist der Normalenvektor der Ebene, das heißt, er steht senkrecht auf der Ebenen.

Die beiden Ebenen sind nun genau dann parallel, wenn ihre Normalenvektoren linear abhängig sind, d.h.

 

n₁ = k*n₂

n₁ = (1, 2, 3)

n₂ = (2, 4, 6)

Wie man leicht sieht, tut k=2 den Job: die beiden Ebenen sind also parallel.

 

Die Frage ist nun noch, ob sie identisch oder echt parallel sind: sie sind parallel, wenn es nur einen einzigen Punkt auf E1 gibt, der nicht auf E2 liegt. Nehmen wir zum Beispiel den Aufpunkt (12, 0, 0) von vorhin. Er liegt auf E1.

Setzt man ihn in die Koordinatenform von E2 ein, erhält man:
2*12 + 4*0 + 6*0 = 24 ≠ 16

Also liegt er nicht auf E2.

E1 und E2 sind echt parallel.

Answer 2

Bei der Koordinatenform

ax + by + cz = d

ist (a, b, c) immer unser Normalenvektor

Untersuchen wir die Lage zweier ebenen schauen wir ob die Normalenvektoren linear abhängig sind. Bei dir in der Aufgabe sind die Normalenvektoren

E1: x+2y+3z=12
E2: 2x+4y+6z=16

n1 = (1, 2, 3)

n2 = (2, 4, 6)

Da gilt n2 = 2 * n1 sind die Vektoren linear abhängig.

Da hier allerdings 16 nicht das doppelte von 12, sind die Gleichungen nicht äquivalent und die Ebenen sind nicht identisch. Damit sind sie dann parallel.