Es seien p, q : R → R Polynome definiert durch

Question

Aufgabe:
…Es seien p, q : R → R Polynome definiert durch
p(x) := 2x5 + 3x4 − 2x3 + 12 x − 3 ,
q(x):=x3 −5x2 +9x−5.
(a) Geben Sie die Leitkoeffizienten von p und q und den Grad der beiden Polynome an.
(b) Zeigen Sie, dass q(1) = 0 gilt und geben Sie alle weiteren Nullstellen von q an. Bestimmen Sie damit den maximalen Definitionsbereich D ⊂ R der gebrochenrationalen Funktion

$$F:D ->R,f(x)\frac{p(x)}{q(x)}$$

C) Bringen Sie die gebrochenrationale Funktion f aus der vorherigen Teilaufgabe mittels Poly- nomdivision auf die Form

$$f(x)= r(x)+\frac{p^-(x)}{q(x)}$$

mit einem Polynom r vom Grad 2 und einem Polynom p ̃ mit deg(p ̃) < 3.

Problem/Ansatz:

Ich muss Polynomdivision rechnen und bin etwas überfordert

Answer 1

p(x) := 2x5 + 3x4 − 2x3 + 12 x − 3 ,
q(x):=x3 −5x2 +9x−5.

(a) Geben Sie die Leitkoeffizienten von p und q und den Grad der beiden Polynome an.

p: Leitkoeffizient 2 ; Grad 5
q: Leitkoeffizient 1 ; Grad 3

(b) Zeigen Sie, dass q(1) = 0 gilt und geben Sie alle weiteren Nullstellen von q an. Bestimmen Sie damit den maximalen Definitionsbereich D ⊂ R der gebrochenrationalen Funktion ...

x^3 - 5·x^2 + 9·x - 5 = (x - 1)·(x^2 - 4·x + 5) = 0

x^2 - 4·x + 5 = 0 → Nur Komplexe Nullstellen x = 2 - i ∨ x = 2 + i

D = R \ {1}

C) Bringen Sie die gebrochenrationale Funktion f aus der vorherigen Teilaufgabe mittels Poly- nomdivision auf die Form ...

(2·x^5 + 3·x^4 - 2·x^3 + 12·x - 3)/(x^3 - 5·x^2 + 9·x - 5) = 2·x^2 + 13·x + 45 + (118·x^2 - 328·x + 222)/(x^3 - 5·x^2 + 9·x - 5)