Zeige: für jedes g \in G die Abbildung \mu_{g}: G \rightarrow G h \mapsto \mu_{g}(h):=g \cdot h bijektiv ist.

Question

Text erkannt:

Aufgabe \( 7.2(4 \) Punkte \( ) . \) Sei \( (G, \cdot) \) eine endliche Gruppe mit \( n \) Elementen. (Wir schreiben einfach \( G \) statt \( (G, \cdot)) \)
(1) Zeigen Sie, dass für jedes \( g \in G \) die Abbildung \( \mu_{g}: G \rightarrow G \) \( h \mapsto \mu_{g}(h):=g \cdot h \) bijektiv ist.
(2) Sei \( H:=\{\varphi: G \rightarrow G \mid \varphi \) bijektive Abbildung von Mengen \( \} \) Wir haben in 7.7,(3) gesehen, dass \( (H, \circ) \) eine Gruppe ist. Zeigen Sie, dass \( G \rightarrow H, g \mapsto \mu_{g} \) ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.

An sich weiß ich, dass die (1) bijektiv ist. Aber bei mir mangelt es an der Schreibweise... könnte mir deswegen eventuell jemand helfen ?

Answer 1

a) Sei g ∈ G. z.zg.: \( \mu_{g}: G \rightarrow G \) \( h \mapsto \mu_{g}(h):=g \cdot h \) ist bijektiv.

1. injektiv: Seien h,k ∈ G mit \(  \mu_{g}(h) = \mu_{g}(k) \)

==>   g·h = g·k  | ·g^(-1) (von links) [ Existiert, da G Gruppe].

==>   h = k ,  also injektiv.

2. surjektiv: Sei k ∈ G. Suche h ∈ G mit \(  \mu_{g}(h) = k \)

Also   g·h = k | ·g^(-1) (von links)

            h = g^(-1) · k . Und wegen der Abgeschlossenheit von G

            ist h ∈  G . Also surjektiv.

Comments

Eine Frage fällt mir jetzt grade noch ein. ^^'

Sie haben ja mit der abgeschlossenheit argumentiert. Könnten Sie das eventuell nochmal näher erklären ?

Wäre echt megal lieb! :)

---

Abgeschlossenheit heißt:

Wenn du zwei Elemente der Gruppe verknüpfst, kommst wieder

ein Element der Gruppe heraus.

Bei h = g^(-1) · k geht es ja darum,

dass h in der Gruppe ist. Weil g^(-1)  und k

aus der Gruppe sind, ist es wegen der

Abgeschlossenheit auch g^(-1) · k

und damit auch g.

---

Ohhh perfekt, danke dir für die Antwort! :))