Ist die Dimensionsformel richtig eingesetzt?

Question

Aufgabe:

Seien K ein Körper und f ein Endomorphismus eines endlich dimensionalen K-Vektorraums V .
(1) Zeigen Sie: Ist f ◦ f = 0 (d.h. die Verkettung von f mit sich selbst ist die
Nullabbildung), so gilt dim Ker(f) ≥\( \frac{1}{2} \) dim(V ).
(2) Gilt auch die Umkehrung?

Problem/Ansatz:

Meine Lösung wäre diese:

1) Aus f² = 0 folgt im f ⊆ ker f. Insbesondere also dim im f ≤ dim ker f. Wegen dim V =
dim im f + dim ker f  folgt weiter dim V ≤ 2 dim ker f, also dim ker f ≥\( \frac{1}{2} \) dim V .
2) Die Umkehrung ist falsch. Sei beispielsweise V = Q²
, sei f bezüglich der Standardbasis
gegeben durch f(e1) = e₁ und f(e₂) = 0. Dann ist offenbar ker f = <e₂>, also dim ker f = 1 =\( \frac{1}{2} \) dim V . Aber f² = f ≠0.

Könnte mir jemand sagen ob ich die Aufgabe richtig beantwortet habe, Bin für jede Hilfe unglaublich dankbar

Comments

Ja, ist richtig gelöst.

Answer 1

Ich denke, das ist alles prima .