Zeige: E[X_n] = m. (b) V[Xn] = sn2 .(c) K[Xj;Xn] = sn2 für j = 1,...,n.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) unabhängige, identisch verteilte zufällige Größen mit der Eigenschaft \( \mathbb{E}\left[X_{1}^{2}\right]<\infty \) Ferner seien \( \mu:=\mathbb{E}\left[X_{1}\right], \sigma^{2}:=\mathbb{V}\left[X_{1}\right] \) und \( \bar{X}_{n}:=\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} X_{k} . \) Zeige:
(a) \( \mathbb{E}\left[\bar{X}_{n}\right]=\mu \)
(b) \( \mathbb{V}\left[\bar{X}_{n}\right]=\frac{\sigma^{2}}{n} \).
(c) \( \mathbb{K}\left[X_{j}, \bar{X}_{n}\right]=\frac{\sigma^{2}}{n} \) für \( j=1, \ldots, n \)

könnte mir jemand helfen bitte?

Vielen Dank im Voraus! :)

Answer 1

Siehe hier https://www.mathelounge.de/493173/summe-identisch-verteilten-bestimme-erwartungswert-varianz

$$\mathbb{K} \big[  X_j, \overline{X_n} \big]  = \mathbb{E} \big[ (X_j- \mu) ( X_n - \mu) \big] = \mathbb{E} \big[ X_j \overline{X_n} \big] - \mu^2 $$ und

$$ \mathbb{E} \big[ X_j \overline{X_n} \big] = \frac{1}{n} \left[ \sum_{k=1 \atop k\ne j}^n \mathbb{E}(X_j) \mathbb{E}(X_k) + \mathbb{E}(X_j^2)  \right]  = \frac{n-1}{n} \mu^2 + \frac{1}{n} \left(\sigma^2 + \mu^2 \right) =  \mu^2 + \frac{1}{n} \sigma^2 $$ also zusammen $$ \mathbb{K} \big[  X_j, \overline{X_n} \big]  =\frac{1}{n} \sigma^2  $$

Comments

Danke für deine tolle Hilfe! :)

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Ich habe noch eine Aufgabe die ich nicht machen konnte. Ich wäre dankbar wenn du mir dabei helfen würdest :)

https://www.mathelounge.de/788890/notwendigerweise-faire-werfen-wahrscheinlichkeit-einem

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\(\mathbb{E} \big[ X_j \overline{X_n} \big] = \frac{1}{n} \left[ \sum_{k=1 \atop k\ne j}^n \mathbb{E}(X_j) \mathbb{E}(X_k) + \mathbb{E}(X_j^2)  \right] \), wie kommst du darauf? müsste in der Summe nicht \( \mathbb{E}(X_j X_k) \) anstatt \( \mathbb{E}(X_j) \mathbb{E}(X_k) \) stehen?

Ist es aufgrund der Unabhängigkeit erlaubt?