Zeigen Sie dass alle Punkte P(2r + 3s| r-2s | 4r-s)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie dass alle Punkte P(2r + 3s| r-2s | 4r-s)

mit r,s Element aller Reellen Zahlen von der Ebene

E: x+2y-z=6 den gleichen Abstand haben

Problem/Ansatz:

Könnte mir jemand bitte helfen ich weiß nicht wie ich vorgehen soll

Answer 1

Hallo,

zunächst sollte man erkennen, dass:$$\overrightarrow{OP}=r\begin{pmatrix} 2\\1\\4 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 3\\-2\\-1 \end{pmatrix}$$ Du kannst dir auch die äquivalente Frage stellen: Sind die beiden Ebenen parallel? Dies ist der Fall, wenn beide Spannvektoren \(\begin{pmatrix} 2\\1\\4 \end{pmatrix}\), \(\begin{pmatrix} 3\\-2\\-1 \end{pmatrix}\) senkrecht zum Normalenvektor von E stehen; dies kann man leicht über das Skalarprodukt prüfen.

Alternativ: Hessesche Abstandsformel

Comments

Das habe ich schon rausbekommen ich weiß das die parallel sind aber weiter weiß ich nicht

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Dann fehlt dir die Schlussfolgerung, dass daraus folgt, dass beide Ebenen den gleichen Abstand haben.

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Jaa und wie zeige ich das

???

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Das folgt aus der Parallelität. Du hast mir gerade geschrieben, dass du die Parallelität schon nachgewiesen hast.