Beispiel Schnittmenge von zwei Ebenen

Question

Aufgabe:

Ich hab hier 2 Ebenen:

E: 2x₁+x₂-x₃=1, also s=(2,1,-1) und E´:3x₂+x₃=2, also s´=(0,3,1) und ich soll die Gerade ermitteln, wo die Ebenen sich schneiden. Zuerst eine Frage mit den s und s´, meinen sie eh die Skalare oder?

Problem/Ansatz:

Ich habe mal einen beliebigen Punkt v ermittel aus der Schnittmenge von E und E´. Dafür hab ich das Kreuzprodukt von s und s´ermittelt, welches =(4,-2,6) ist. Und um einen beliebigen Punkt v zu finden, habe ich x³=0 gesetzt. Dann habe ich x2=2/3 und x1=1/6 als Ergebnis bekommen.

Ich habe also jetzt E geschnitten E´=(1/6,2/3,0)+R*w. Aber wie kann ich jetzt w ermitteln.

Falls ich es komplett falsch gemacht habe, wärs super wenn ihr mir das sagen könntet.

Answer 1

Zuerst eine Frage mit den s und s´, meinen sie eh die Skalare oder?

Damit sind eher die Normalenvektoren gemeint.

1. Suche einen Punkt der auf beiden Ebenen liegen.

2·x + y - z = 1
3·y + z = 2

Für y = 0 ergibt sich direkt z = 2 und x = 1.5

2. Ermittle jetzt noch einen Richtungsvektor, z.B. aus dem Kreuzprodukt der Normalenvektoren

[2, 1, -1] ⨯ [0, 3, 1] = [4, -2, 6] = 2·[2, -1, 3]

Damit stellst du jetzt die Schnittgerade auf

gs: X = [1.5, 0, 2] + r·[2, -1, 3]