Schnittmenge zwischen zwei Ebenen bestimmen.

Question

Es sei E= (x ∈ ℝ³ / x₂ -x₃ = 4 ) eine Ebene in ℝ³ .

Bestimmen Sie die Schnittmenge zwischen E und ( x ∈ ℝ³ / x₁ + x₂ + x₃  = 0 )

Bestimmen Sie die Ebene, die durch den Ursprung geht und parallel zu E ist.

Answer 1

Hallo bf,

(ich schreibe Vektoren in Zeilenschreibweise [x, y, z] )

Ebenen  E₁ = { x ∈ ℝ³ | x₂ -x₃ = 4 }                 mit dem Normalenvektor \(\vec{n_1}\) = [0, 1, -1] 

  und       E₂ = { x ∈ ℝ³ | x₁ + x₂ + x₃  = 0 }      mit dem Normalenvektor \(\vec{n_2}\) = [1, 1, 1] 

Für die Schnittgerade  g = E₁ ∩ E₂ erhält man  

-  einen Richtungsvektor:   \(\vec{u}\) = \(\vec{n_1}\) x  \(\vec{n_2}\)  =  [3, -1, -2]

-  einen Punkt A von g als gemeinsamen Punkt von E₁ und E₂ :

    x₂ - x₃ = 4   und  x₁ + x₂ + x₃  = 0   

    Wähle z.B. x₃ = 0  →  x₂ = 4  → x₁ = - 4    →  A( -4 | 4 | 0)

Schnittgerade g:  \(\vec{x}\)  =  [-4, 4, 0] + r * [3, -1, -2]    mit  r∈ℝ

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Die Ebene E_x  ||  E₁   durch den Ursprung 

hat den gleichen Normalenvektor wie E₁   

E_x :   [0, 1, -1] * \(\vec{x}\) = 0

Gruß Wolfgang