Zeigen Sie, dass für jede reelle Zahl a der Differenzenquotient von f im Intervall [a; a + 2] mit 3/2 × f(a) …

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2^x. Zeigen Sie, dass für jede reelle Zahl a der Differenzenquotient von f im Intervall [a; a + 2] mit 3/2 × f(a) übereinstimmt.

Problem/Ansatz:

f(a) = 2^a; f(a + 2) = 2^a+2

\( \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \) = \( \frac{(2^a+2) - 2^a}{(a+2)-a} \) = \( \frac{2^a × 2² - 2^a}{2} \) = \( \frac{4}{2} \) = 2

Ich komme auf das Ergebnis 2 und nicht 3/2 × f(a)

Answer 1

$$ \frac{2^{a+2} - 2^a}{ a+2-a} =  \frac{2^a (4-1)}{2} = \frac{3}{2} 2^a$$

Comments

Wie kommt man auf 4-1?

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\( 2^a \) ausklammern. Übrig bleibt einmal \( 2^2 \) und einmal \( 1 \)

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Hallo ullim,

danke für deine Lösung. Ich hätte dabei nur noch eine kurze Frage:

Wenn man 2^a+2 einfach nur auflöst nach der Potenzregel: a^r+s = a^r * a^s ,ergibt doch = \( \frac{2a × 2² - 2a}{2} \); wenn man aber hier die 2a ausklammert, wieso hat man 2² in der Klammer, es hat ja keinen a im Exponenten, somit ist es ja an sich kein ausklammernder Faktor und viel weiter, wenn man 4 in der Klammer hat, bedeutet es ja, dass 2a viermal auftaucht.

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Versteh ich nich. $$ \frac{2^{a+2} - 2^a}{2} = \frac{2^a 2^2 - 2^a}{2} = 2^a \frac{2^2-1}{2} = 2^a \frac{3}{2} $$