Du hast Recht, wenn man es genau nimmt liegt P2 nicht auf dem Polynom Doch ich habe von differentiell kleinen Größen gesprochen, dazu folgende Erklärung.
Die Stetigkeit von f in P sagt, dass für alle ε>0 ein δ>0 existiert, so dass
$$|x_i-x|<δ→|f(x_i)-f(x)|<ε$$
Die Differenzierbarkeit sagt,
$$\lim\limits_{δ\to0} \frac{f(x+δ)-f(x}{x+δ-x} →f'(x)$$
Die Linkskrümmung sagt,
$$f'(x+δ)>f(x)$$
Seien
$$A(x_A; f(x_A)) ; B (x_B;f(x_B) ; x_B>x_A$$zwei Punkte auf dem Polynom, dann existiert zwischen A und B ein$$ P(x_P;f(x_P))$$mit
$$ \frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A} =f'(x_P)$$
$$f'(x_A)<f'(x_P)<f'(x_B)$$
Dieser Punkt P hat den größten Abstand zur Geraden AB
Nun wähle ich zwei Punkte
$$P _1 (x_1, f(x_1)) ;P_3(x_3;f(x_3))$$
dann existiert zwischen P_1 und P_3 ein
$$ P_2(x_2;f(x_2))$$mit
$$ \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} =f'(x_2)$$
$$x_A<x_1<x_2<x_3<x_P<x_B$$
Nun sage ich mein gesuchter Punkt mit dem größten Abstand zur Geraden AB sei P_1 , dann kann ich zeigen, dass der Abstand zu P_3 größer ist, da es einen Schnittpunkt der Geraden AB mit der Geraden P_1 P_3 gibt. Das mache ich über die Fußpunkte von F_1 und F_3 auf der Geraden AB mittels des Strahlensatzes.
