Hallo, ich brauche dringend Hilfe bei folgenden Aufgaben, die ich bald abgeben muss!
Text erkannt:
Aufgabe 1 (4 Punkte) Wir nennen eine Teilmenge \( M \) von \( \mathbb{R} \) induktiv falls \( 1_{\mathrm{R}} \in M \) und fur jedes \( m \in M \) auch \( m+1_{\mathrm{R}} \) in \( M \) liegt. Sei \( S \) der Schnitt uber alle induktiven Teilmengen von \( \mathbb{R} . \) Sei \( J: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \) die aus der Vorlesung bekannte Abbildung, die rekursiv definiert ist durch \( J\left(1_{\mathrm{N}}\right)=1_{\mathrm{R}} \) und \( J\left(n+1_{\mathrm{N}}\right)=J(n)+1_{\mathrm{R}} \) für alle \( n \in \mathbb{N} . \) Zeigen Sie:
(a) \( S \) ist eine induktive Teilmenge von \( \mathbb{R} \).
(b) Es gilt \( J(\mathbb{N})=S \)
Bemerkung: Die Aufgabe zeigt, dass wir die naturlichen Zahlen auch als kleinste induktive Teilmenge von \( \mathbb{R} \) auffassen können.
Aufgabe 2 Punkte) Sei \( A \) eine nichtleere Menge, \( \alpha \in A \) beliebig und sei \( X \) die Menge aller Abbildungen von N nach \( A \). Seien die beiden Abbildungen \( \sigma_{L}: X \rightarrow X \) und \( \sigma_{R}: X \rightarrow X \) definiert durch
$$ \sigma_{L}(x)(n):=x(n+1) \text { für alle } n \in \mathbb{N} $$
und
$$ \sigma_{R}(x)(1):=\alpha \text { und } \sigma_{R}(x)(n):=x(n-1) \text { für } n \geq 2 $$
für alle \( x \in X . \) Untersuchen Sie \( \sigma_{L} \) und \( \sigma_{R} \) auf Injektivitat und Surjektivitat.
Aufgabe 3 (4 Punkte) Es sei \( I_{n}, n \in \mathbb{N}, \) eine zusammenschrumpfende Intervallschachtelung in \( \mathbb{R} \) und es sei \( \left(x_{n}\right) \) eine Folge in \( \mathbb{R} \) mit \( x_{n} \in I_{n}, \) für alle \( n \in \mathbb{N} . \) Zeigen Sie, dass \( \left(x_{n}\right) \) konvergiert und für den Grenzwert gilt
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_{n} $$
Aufgabe 4 (4 Punkte) Sei \( A \subseteq \mathbb{R} \) und \( S \in \mathbb{R} . \) Zeigen Sie, dass \( S \) genau dann das Supremum von \( A \) ist, wenn \( S \) eine obere Schranke von \( A \) ist und eine Folge \( \left(x_{n}\right) \) in \( A \) existiert, die gegen \( S \) konvergiert.
Bemerkung: Per Definition ist ein Maximum einer Menge eine obere Schranke, die selbst in der Menge liegt. Wir können Aufgabe 4 so interpretieren, dass ein Supremum einer Menge eine obere Schranke ist, die "beliebig nahe" an der Menge liegt.
Text erkannt:
Aufgabe 6 Diese A ufgabe beschäftigt sich mit einer Konstruktion der reellen Zahlen. Weitere Details und Hintergründe uber diese finden Sie in dem A ufsatz 'The Eudoxus Real Numbers' von
R.D. Arthan, siche https://arxiv.org/abs/math/0405454v1.
Für eine Funktion \( f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \) definieren wir
$$ d_{f}(n, m):=f(n)+f(m)-f(n+m) $$
Mit \( E \) bezeichnen wir die Menge aller Fast-Homomorphismen von \( \mathbb{Z}, \) d.h.
\( E:=\left\{f: \mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{Z} \mid\right. \) es existiert \( C \in \mathbb{N} \) mit \( \left|d_{f}(m, n)\right| \leq C \) für alle \( \left.n, m \in \mathbb{Z}\right\} \)
und mit \( B \) bezeichnen wir die Menge der beschrãnkten Funktionen auf \( \mathbb{Z}, \) also
\( B:=\{g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \mid \) es existiert \( D \in \mathbb{N} \) mit \( |g(n)| \leq D \) für alle \( n \in \mathbb{Z}\} \)
sind \( f, g \in E, \) so schreiben wir wie üblich
$$ f+g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z},(f+g)(n)=f(n)+g(n) \text { und } f \circ g: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z},(f \circ g)(n)=f(g(n)) $$
Zeigen Sie:
(a) Auf der Menge \( E \) ist eine Äquivalenzrelation gegeben durch \( \sim, \mathrm{mit} \)
$$ f \sim g: \Longleftrightarrow f-g \in B $$
Die Äquivalenzklasse von \( f \) (bezüglich \( \sim \) ) bezeichnen wir mit
$$ [f]:=\{g \in E \mid g \sim f\}=\{g \in E \mid f-g \in B\} $$
und die Menge der Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit
$$ \mathbf{E}:=\{[f] \mid f \in E\} $$
(b) Zeigen Sie, dass durch \( +: \mathbb{E} \times \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{E},[f]+[g]:=\mid f+g] \) eine Operation auf \( \mathbb{E} \) definiert wird und dass \( (\mathrm{E},+) \) eine abelsche Gruppe ist.
(c) Zeigen Sie, dass durch \( \because \mathbb{E} \times \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{E},[f] \cdot[g]:=[f \circ g] \) eine assoziative Operation mit neutralem Element definiert wird.
Tatsächlich ist \( (\mathrm{E},+, \cdot) \) ein Körper. Wir führen nun eine Ordnung auf ihm ein. Beweisen Sie:
Text erkannt:
(d) Sei \( f \in E . \) Ist die Menge \( \{f(n) \mid n \in \mathbb{N}\} \cap \mathbb{N} \) unendlich, so gibt es für jedes \( D \in \mathbb{N} \) ein \( M \in \mathbb{N} \) mit
$$ f(n M)>(n+1) D \text { fur alle } n \in \mathbb{N} $$
(e) Wir sagen \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(n)=\infty, \) falls fur alle \( C \in \mathbb{N} \) ein \( M \in \mathbb{N} \) existiert, sodass fur alle \( n>M \) gilt \( f(n)>C . \) Zeigen Sie, dass die Menge
$$ \left.\mathbb{E}^{+}:=\{\mid f] \in \mathbb{E} \mid \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(n)=\infty\right\} $$
wohldefiniert ist.
(f) \( \mathrm{E} \) mit positiven Elementen \( \mathrm{E}^{+} \) ist ein angeordneter Körper.
Tasächlich ist \( \mathbb{E} \) mit der von \( \mathbb{E}^{+} \) induzierten Ordnungsrelation ordnungsvollständig. Aus der Vorlesung ist bekannt, dass es (bis auf Umbenennung) nur einen Ordnungsvollständigen Körper gibt, somit haben wir die recllen Zahlen konstruiert (die Konstruktion skizziert, die ausgelassenen Details sind in der oben genannten Quelle zu finden).
Wir diskutieren nun die Bezichung zwischen \( \mathbb{E} \) und den 'üblichen' reellen Zahlen \( \mathbb{R} . \) Für eine reclle Zahl \( \alpha \in \mathbb{R} \) sci \( f_{a}: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \) gegeben durch
$$ f_{\alpha}(n):=\lfloor n \alpha\rfloor $$
wobei \( \lfloor\cdot\rfloor \) die Gaubklammer oder Abrundungsfunktion ist, d.h. für \( x \in \mathbb{R} \) ist \( \lfloor x\rfloor \) die größte ganze Zahl \( n \in \mathbb{Z}, \) so dass \( n \leq x . \) Beweisen Sie:
(g) Es gehört \( f_{\alpha} \) zu \( E \) für jedes \( \alpha \in \mathbb{R} \).
(h) Sei \( f \in E . \) Es existiert ein \( C \in \mathbb{N} \) mit \( |f(n m)-m f(n)| \leq C m \) für alle \( n, m \in \mathbb{N} \). Insbesondere gilt
$$ \left|\frac{f(n)}{n}-\frac{f(m)}{m}\right| \leq \frac{C}{n}+\frac{C}{m} $$
(i) Für \( g \in E \) konvergiert die Folge \( \left(\frac{1}{n} g(n)\right) \) in \( \mathbb{R} \).
Mithilfe des eben bewiesenem definieren wir \( \alpha: E \rightarrow \mathbb{R} \) durch
$$ \alpha(g):=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} g(n) $$
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
Text erkannt:
(j) Es gilt \( g-f_{\alpha(g)} \in B \) für alle \( g \in E \).
(k) Es gilt \( f_{\alpha}-f_{\beta} \in B \) genau dann, wenn \( \alpha=\beta \) gilt.
(1) sind \( f, g \) in \( E, \) so gilt \( f-g \in B \) genau dann, wenn \( \alpha(f)=\alpha(g) \) gilt.
(m) Die Abbildung
$$ J: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{E}, \quad \beta \mapsto\left[f_{\beta}\right] $$
ist bijektiv und ihre Umkehrabbildung ist gegeben durch
$$ K: \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{R}, \quad[g] \mapsto \alpha(g) $$
Die Abbildungen \( J \) und \( K \) sind gut mit den Rechenoperationen und den Ordnungsstrukturen von \( \mathbb{E} \) und \( \mathbb{R} \) verträglich. Zeigen Sie:
(n) Es gilt \( J(\alpha+\beta)=J(\alpha)+J(\beta) \) für alle \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \).
(o) Es gilt \( J(\alpha \beta)=J(\alpha) \cdot J(\beta) \) fur alle \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \).
(p) Für alle \( x, y \in \mathbb{R} \) gilt \( x>y \) genau dann, wenn \( J(x)>J(y) \)
Hinweis: Natürlich können Sie zum Lösen eines Teiles der Aufgabe die vorher bewiesenen Aussagen verwenden. Die Aufgabenteile (a) - (f) und (g) - (m) sind unabhingig voneinander. Für (n) - (p) benötigen Sie die Definitionen aus allen vorherigen Teilaufgaben.
Vielen Dank und schöne Feiertage und einen guten Rutsch :D
