2.2.10 Welche der folgenden Vektorenmengen bilden eine Basis des \mathbb{R}^{n}?

Question

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2.2.10 Welche der folgenden Vektorenmengen bilden eine Basis des \( \mathbb{R}^{n} ? \)
a) \( \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right\} \)
d) \( \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\right\} \)
b) \( \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)\right\} \)
\( \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right\} \)
e) \( \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 7 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\right\} \)

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Answer 1

zu e) Löse die Gleichung

        \( a\cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) + b\cdot \left(\begin{array}{l}0 \\ 7 \\ 0\end{array}\right) + c\cdot \left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 3\end{array}\right) + d\cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \)

nach \((a, b, c, d)\). Wenn es genau eine Lösung hat, dann ist

        \( \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 7 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\right\} \)

eine Basis von \(\mathbb{R}^3\).