Bestimmen Sie eine Basis des \mathbb{F}_{2}^{8} , die keinen einzigen Einheitsvektor enthält.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie eine Basis des \( \mathbb{F}_{2}^{8} \), die keinen einzigen Einheitsvektor enthält. Sie dürfen \( \operatorname{dim}_{\mathbb{P}_{2}} \mathbb{F}_{2}^{8}=8 \) benutzen.

Wenn Sie den Beweis mittels Gleichungssystem führen wollen, wird dies ein großes Gleichungssystem, mit 8 Gleichungen und 8 Variablen ... sowas kann man im Rahmen einer Übungsaufgabe lösen, das ist kein übermäßiger Arbeitsaufwand. Aber versuchen Sie trotzdem anstelle des Gleichungssystems eine elegantere Argumentation zu finden! Das wird auch Ihr Verständnis für den Begriff „Basis" verbessern.

komme hier nicht weiter, da ich nicht weiß was ich statt einem Gleichungssytem verwenden soll.

MfG

Answer 1

Betrachte die \((8\times8)\)-Determinante$$\det\left(\begin{array}{cccccc}1&1&1&\cdots&1&1\\0&1&1&\cdots&1&1\\\ &&\cdots&&\\ 0&0&0&\cdots&0&1\end{array}\right)$$

Sie hat als obere Dreiecksdeterminante den Wert 1.

Nun addiere die erste Zeile zur letzten,

dann ändert sich der Wert der Determinante nicht

und keine der Zeilen (oder Spalten) ist ein Standardeinheitsvektor.

Die Zeilen (oder auch die Spalten) der resultierenden Determinante sind also

linear unabhängig und bilden daher eine Basis mit der geforderten Eigenschaft.