Aloha :)
Wir benötigen zunächst einen Vektor \(\vec n\), der auf den 3 Vektoren senkrecht steht:
$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 1 & 1\\-1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\\n_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\quad\implies\quad\vec n=\alpha\left(\begin{array}{r}1\\-1\\-1\\1\end{array}\right)\quad;\quad\alpha\in\mathbb R$$Ich habe nur das Ergebnis des LGS angegeben, wenn du bei der Berechnung Fragen hast, bitte einfach in den Kommentaren stellen.
Für \(\alpha=\frac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt4}=\frac{1}{2}\) erhalten wir den normierten Vektor:$$\vec n^0=\left(\begin{array}{r}1/2\\-1/2\\-1/2\\1/2\end{array}\right)$$
Der Vektorraum \(\vec V\) muss den Nullpunkt enthalten. Daher können wir den Ortsvektor \(\vec a=(1;2;3;4)^T\) vom Ursprung zum Punkt \(A\) auf \(\vec n^0\) projezieren, um den Abstand \(d\) zu berechnen.$$d=\vec n^0\cdot \vec a=\left(\begin{array}{r}1/2\\-1/2\\-1/2\\1/2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}1\\2\\3\\4\end{array}\right)=\frac{1}{2}-\frac{2}{2}-\frac{3}{2}+\frac{4}{2}=0$$
Der Punkt \(A(1;2;3;4)\) hat also den Abstand \(0\) vom Vektorraum \(V\), also liegt \(A\) in \(V\). Und tatsächlich gilt:$$\left(\begin{array}{r}1\\2\\3\\4\end{array}\right)=2\cdot\left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\1\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{r}0\\0\\1\\1\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{r}-1\\0\\0\\1\end{array}\right)$$
