Berechnen Sie den Normalabstand des Punkts von der Geraden

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Gerade g und der Punkt Q

g: \( \vec{x} \) = (2; -1; -5) + k(-2; 0; 3)     Q(0|8|1)

Berechnen Sie den Normalabstand d (R, g) des Punkts R(-1I5I6) von der Geraden g!

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten eine Gerade \(g\) und einen Punkt \(R\):

$$g\colon\vec x=\underbrace{\begin{pmatrix}2\\-1\\-5\end{pmatrix}}_{=\vec a}+k\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}}_{=\vec u}\quad;\quad R(-1|5|6)$$

Zur Bestimmung des Normalabstandes (seinkrecht zur Gerade) von \(R\) zu \(g\), verbinden wir einen beliebigen Punkt von \(g\) mit \(R\). Der Einfachheit wählen wir den Ankerpunkt der Geraden:$$\vec v\coloneqq\overrightarrow{AR}=\vec r-\vec a=\begin{pmatrix}-1\\5\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\6\\11\end{pmatrix}$$

Diesen Verbindungsvekor \(\vec v\) projezieren wir auf den Richtungsvektor \(\vec u\) der Geraden:$$\vec v_\parallel=\left(\frac{\vec v\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u}\right)\cdot\vec u=\left(\frac{\begin{pmatrix}-3\\6\\11\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}}\right)\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}=\frac{39}{13}\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\0\\9\end{pmatrix}$$

und bestimmen den zur Geraden senkrechten Anteil \(\vec v_\perp\) von \(\vec v\):$$\vec v_\perp=\vec v-\vec v_\parallel=\begin{pmatrix}-3\\6\\11\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-6\\0\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6\\2\end{pmatrix}$$

Die Länge dieses senkrechten Anteils ist der gesuchte Abstand:$$d(R,g)=\sqrt{3^2+6^2+2^2}=\sqrt{49}=7$$

Answer 2

Es geht wohl darum:

Berechnen Sie den Normalabstand \( d(R, g) \) des

Punkts \( R(-1|5| 6) \) von der Geraden \( g \) !

mit \( g: \vec{X}=\left(\begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ -5 \end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{r} -2 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)  \)

Dazu gibt es viele Möglichkeiten. Eine ist die:

Bestimme die Ebene E, die senkrecht zu g ist und

durch R geht. Die hat also den Normalenvektor \( \left(\begin{array}{r} -2 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)  \) , also eine Koordinatengleichung der Form

     -2x +0y + 3z = d

und geht durch R, also

         -2*(-1) +0*5 + 3*6 = d  somit  d=20, also

E:    -2x +0y + 3z =  20. Schneiden mit g :

        -2(2-2k)+0+3(-5+3k)=20  ==>  k=3

Also ist L(-4 |-1|4) der Fußpunkt des Lotes von R auf g

und damit die Länge der Strecke RL der gesuchte Abstand

d=3√13.

Comments

d=3√13.

Hmmm,

d=√(3²+6²+2²)=7

:-)