Nullmatrix zeigen/ A invertierbar

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass p A (A)=0 (Nullmatrix)/ Zeigen Sie dass A invertierbar ist und berechnen Sie A^-1

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Könnte mir jemand bei Nr.1 d) und e) helfen, irgendwie komme ich da nicht weiter

Text erkannt:

1. Sei \( A \in M(3 \times 3 ; \mathbb{R}) \) gegeben durch
$$ A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & -3 \\ 6 & 6 & -4 \end{array}\right) $$
a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom \( p_{A} \) von \( A \).
b) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von \( A \) und für jeden Eigenwert die algebraische und geometrische
Vielfachheit.
c) Berechnen Sie für jeden Eigenwert eine Basis des zugehörigen Eigenraums.
d) Sei \( p_{A}(t)=-t^{3}+\alpha_{2} t^{2}+\alpha_{1} t+\alpha_{0} \) das in a) gefundene Polynom sowie
$$ p_{A}(A):=-A^{3}+\alpha_{2} A^{2}+\alpha_{1} A+\alpha_{0} I_{3} $$
Zeigen Sie, dass \( p_{A}(A)=0 \) (Nullmatrix).
e) Zeigen Sie, dass \( A \) invertierbar ist und berechnen Sie \( A^{-1} \), indem Sie die in \( \mathrm{d} \) ) erhaltene Gleichung
mit \( A^{-1} \) multiplizieren.

Punkte)

Answer 1

Ersetze in dem Polynom \(-A^{3}+\alpha_{2} A^{2}+\alpha_{1} A+\alpha_{0} I_{3}\)

• die Koeffiizienten \(\alpha_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{0}\) durch die in Teilaufgabe a) bestimmten,
  
• \(A\) durch die gegebene Matrix,
• \(I_{3}\) durch die 3×3-Einheitsmatrix
  

und rechne aus.

Zeigen Sie, dass \( A \) invertierbar ist

Zeige eine der folgenden Aussagen.

• \(A\) hat den Rang 3.
• Die Spalten von \(A\) sind linear unabhängig.
• Die Zeilen von \(A\) sind linear unabhängig.
• Die Determinante von \(A\) ist nicht 0.
  

indem Sie die in \( \mathrm{d} \) ) erhaltene Gleichung mit \( A^{-1} \) multiplizieren.

        \(\begin{aligned} -A^{3}+\alpha_{2}A^{2}+\alpha_{1}A+\alpha_{0}I_{3} & =0 &  & |\cdot A^{-1}\\ -A^{2}+\alpha_{2}A+\alpha_{1}I_{3}+\alpha_{0}A^{-1} & =0 \end{aligned}\)
Jetzt nach \(A^{-1}\) umstellen.

Answer 2

$$ p_{A}(t)=-t^{3}+\alpha_{2} t^{2}+\alpha_{1} t+\alpha_{0} $$$$ p_{A}(t)=-t^{3}+3 t^{2}+0 t-4$$$$-1*\begin{pmatrix} 8& 0& 0  \\ 9& 17&-9\\18&18&-10\end{pmatrix} +3*\begin{pmatrix} 4& 0& 0  \\ 3& 7&-3\\6&6&-2\end{pmatrix}-4 *\begin{pmatrix}1 & 0& 0  \\0 & 1&0\\0&0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0& 0& 0  \\0 & 0&0\\0&0&0\end{pmatrix} $$