Untervektorraum im R^4 untersuchen.

Question

\( A:=\left\{\left(\begin{array}{c}x^{4} \\ x^{3} \\ x^{2} \\ x\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x \in \mathbb{R}\right\} \)

Untersuchen Sie, ob A ein R Untervektorraum von R^4 ist.

Ich weiß, dass alle Vektoren im R^3, die durch 0 gehen, Unter Vektoren von R^4 sind. Aber wie kann ich das hier beweisen?

Comments

Hallo,

was definiert denn einen Untervektorraum und wie würdest du beginnen, die Bedingungen, die man einen UVR stellt, zu untersuchen?

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Hallo,

das sind die Definitionen, die ich kenne:

1) A ist nicht die leere Menge

2) Sind v, w Element aus A zwei Vektoren, so dass die Summe v + w ein Vektor aus A ist.

3) Ist v Element A ein Vektor und a eine reelle Zahl, so ist a * v wieder ein Vektor aus A.

Zu 1) würde ich einfach sagen, dass ist Trivial, weil das jeder sagt.

Zu 2) hätte ich die Idee: \( v+w=A= \begin{pmatrix} 0,5*x^4\\0,5*x^3\\0,5*x^3\\0,5*x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0,5*x^4\\0,5*x^3\\0,5*x^3\\0,5*x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x^4\\x^3\\x^2\\x \end{pmatrix} \)

Zu 3) \(  v*2=A =2*\begin{pmatrix} 0,5*x^4\\0,5*x^3\\0,5*x^3\\0,5*x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x^4\\x^3\\x^2\\x \end{pmatrix}  \)

Habe ich damit alle drei Definitionen bewiesen?

Answer 1

Zu 1) würde ich einfach sagen, dass ist Trivial, weil das jeder sagt.

Du solltest dir dann bitte nochmal die Bedeutung vom Wort ,,Trivial'' im Sinne der Mathematik vor Augen halten! Das sagt man nicht, weil man ,,cool'' ist, sondern weil etwas unmittelbar aus etwas anderem folgt, ohne es formal ausgedehnt begründen zu müssen. Das ist aber von der jeweiligen Aussage abhängig.

1.) folgt hier deshalb, weil dies bei genauerem Betrachten von \(A\) aus dessen Konstruktion folgt. Man hat hier Elemente der Form \(\begin{pmatrix}x^4\\x^3\\x^2\\x \end{pmatrix}\), wobei \(x\) reellwertig ist. Damit ist \(A\) nichtleer.

2.) Deine Idee funktioniert nicht, da du \(v\) und \(w\) (sogar \(v=w\)) speziell gewählt hast. Es soll aber für alle \(v,w\in A\) die Eigenschaft \(v+w\in A\) geprüft werden. Man hat also beliebige \(v:=\begin{pmatrix}x^4\\x^3\\x^2\\x \end{pmatrix},\quad w:=\begin{pmatrix}y^4\\y^3\\y^2\\y \end{pmatrix}\in A\).

Ist es nun damit möglich, dass \(v+w=\begin{pmatrix}x^4+y^4\\x^3+y^3\\x^2+y^2\\x+y \end{pmatrix}\) immer ein Element der Form \(\begin{pmatrix}z^4\\z^3\\z^2\\z \end{pmatrix}\) darstellt?

Comments

x^4 + y^4 ungleich z^4. Aber wenn man u + w addiert erhält man ein Vektor im R^4.

Also würde ich sagen, das v + w immer ein Element der Form R^4 ist. Aber das kann man ja dann bei jedem Vektor sagen. Also ich will damit sagen, das man immer ein u und w findet, welches z ergibt.

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Aber wenn man u + w addiert erhält man ein Vektor im R4.

Das schon, aber ist er auch in \(A\) enthalten, d.h lässt er sich in dieser Struktur darstellen \(\begin{pmatrix}z^4\\z^3\\z^2\\z \end{pmatrix}\)?

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Was meinst du mit "Struktur"? Es ist ein Vektor im R^4, falls du das meinst.

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Das ist nicht gefragt, ob es in \(\mathbb{R}^4\) ist. Ja is es. Aber auch in der Menge \(A\)??? Betrachte zb \(v:=\begin{pmatrix}1^4\\1^3\\1^2\\1 \end{pmatrix},\quad w:=\begin{pmatrix}2^4\\2^3\\2^2\\2 \end{pmatrix}\in A\). Dann hat man

\(v+w=\begin{pmatrix}1^4+2^4\\1^3+2^3\\1^2+2^2\\1+2 \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}(1+2)^4\\(1+2)^3\\(1+2)^2\\1+2 \end{pmatrix}\).

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Verstehe ich richtig, dass es kein x^4 + y^4 gibt, wo man das Ergebnis als eine Zahl mit der Potenz 4 schreiben kann?

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Gibt es schon, nämlich für \(x=y=0\) gilt das sogar \(0^n+0^n=(0+0)^n\) für alle \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1}\), aber eben nicht allgemein für beliebige \(x,y\in \mathbb{R}\) (siehe Beispiel).

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Ok, danke dir. Kann ich die 3) so lassen, oder ist das bsp. falsch?

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Wenn man ein Gegenbeispiel findet, dann kann man sich die restliche Mühe sparen, die verbliebenen Axiome nachzuweisen (außer es wird explizit verlangt zu zeigen, welche Axiome gelten und welche nicht).