Untervektorraum Untersuchen ob M1={(x,y,z)∈R^3|x^2-y=3z} UVR von R^3

Question

M₁={(x,y,z)∈ℝ³|x^2-y=3z}

Untersuchen, ob die Menge Untervektorraum von ℝ³ bildet.
Umgeformt für y ergibt es:   y=x^2-3z
Zwei Vektoren der Menge addiert ergibt:  (2x, 2*(x^2-3z), 2z)    (Vektorschreibform)
Wenn es Untervektorräume sind müsste ja gelten 2x^2-6z=x^2-3z
Und das ist ja falsch, also kein Untervektorraum vorhanden!?Sehe ich das richtig oder liege ich da komplett falsch?

Answer 1

Das ist kein UVR.

Es ist z.B. nicht abgeschlossen bezüglich Vektoraddition. D.h. für u,v Element M1 gilt nicht zwingend w Element M1.

u + v = w

Ein konkretes Gegenbeispiel genügt um das zu zeigen. Finde eines.

Bsp.

M₁={(x,y,z)∈ℝ³|x²-y=3z} 

u=v= (2 | 1 | 1) Element M1  , denn 4 - 1 = 3*1 ja. 

Aber 

w = (2| 1| 1) + (2|1|1) = (4|2|2) und ( 16 - 2 =14 ≠ 3*2= 6 )

Also nicht Element M1. q.e.d. M1 ist kein UVR. 

Comments

Reicht es auch ohne konkretes Beispiel aus, also so wie ich das gemacht habe?

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Ich denke nicht, denn deine Gleichung 2x²-6z=x²-3z  hat Lösungen.