Beweisen Sie, dass es kein x ∈ Q gibt mit x2 = 3.

Question

Aufgabe: Beweisen Sie, dass es kein x ∈ Q gibt mit x2 = 3.

Ich habe leider gerade gar keine Idee. Kann mir jemand mit dem Beweis helfen? :)

Answer 1

Seien \(p.q\in \mathbb{N}\) teilerfremd mit \(\left(\frac{p}{q}\right)^2 = 3\). Dann gilt

        \(\begin{aligned} &  & 3 & =\left(\frac{p}{q}\right)^{2}\\ & \implies & 3 & =\frac{p^{2}}{q^{2}}\\ & \implies & 3q^{2} & =p^{2}\\ & \implies & 3 & |p^{2}\\ & \implies & 3 & |p\\ & \implies & 9 & |p^{2}\\ & \implies & 9 & |3q^{2}\\ & \implies & 3 & |q^{2}\\ & \implies & 3 & |q\text{.} \end{aligned}\)

Das ist ein Widerspruch zu der Voraussetzung, dass \(p,q\) teilerfremd sind.

Comments

! Was bedeutet der gerade Strich?

---

Der gerade Strich bedeutet "ist Teiler von".

---

Aber es soll ja kein x für Q geben, das heißt der Beweis müsste doch anders sein, da ich ja dann selber die Voraussetzung teilerfremd stelle?

Es kann doch trotzdem ein x weiterhin geben oder nicht?

---

Angenommen es gäbe ein \(x\in \mathbb{Q}\) mit \(x^2 = 3\).

Seien dann \(p,q\in \mathbb{N}\) teilerfremd mit \(x = \frac{p}{q}\).

Ich habe gezeigt, dass aus dieser Anname folgt, dass sowohl \(p\) als auch \(q\) durch 3 teilbar sind.

Das widerspricht der Annahme, das \(p\) und \(q\) teilerfremd sind.

Weil zu jedem \(x\in \mathbb{Q}\) teilerfremde \(p,q\in \mathbb{Z}\) mit \(x = \frac{p}{q}\) gefunden werden können, widerspricht das auch der Annahme es gäbe ein \(x\in \mathbb{Q}\) mit \(x^2 = 3\).

Also gibt es kein \(x\in \mathbb{Q}\) mit \(x^2 = 3\).

Diese Beweistechnik, das Gegenteil anzunehmen und dann eine widersprüchliche Aussage herzuleiten, nennt man "Beweis durch Widerspruch".