Korollar Dimension und endliche Basis von V

Question

Aufgabe:

Ich hab hier ein Korollar:

Gibt es für jedes m Element aus natürlichen Zahlen linear unabhängige Vektoren w₁,...,w_m Element aus V, so ist dimV:=Unendlich.

Problem/Ansatz:

So ganz versteh ich das nicht. Die Definition von einer Dimension weiß ich, dort steht auch Ist V nicht endlich erzeugt so setzt man formal dim_KV:= unendlich. Ich versteh das so wenn sie nicht endlich erzeugt ist besitzt sie keine endliche Basist, ist das so richtig?

Und die Bedingungen für eine Basis laut meiner Definition sind, das der von v₁,...,v_n aufgespannte Raum über K =V ist und v1,...,vn linear unabhängig sind.

Aber bedeutet das dann, dass wenn es für jedes m aus den natürlichen Zahlen lineare unabhänige Vektoren aus V gibt, dass V nicht endlich erzeugt ist?

Könnte mir das Korollar vielleicht jemand erklären?

Answer 1

Aber bedeutet das dann, dass wenn es für jedes m aus den natürlichen Zahlen lineare unabhänige Vektoren aus V gibt, dass V nicht endlich erzeugt ist?  Ja !

Angenommen, es gäbe ein endliches Erzeugendensystem für V . Dann könnte man dieses

zu einer Basis für V reduzieren, die wäre also auch endlich (etwa n Elemnete) und

somit dim(V)=n. Dann gäbe es aber in V keine n+1 linear unabhängigen Elemente.

Also Widerspruch !

Comments

Haben wir dann in diesem Fall zwar unabhängige Vektoren, aber kein Erzeugendensystem?

was ist mit den n+1 vektoren gemeint? bis dort hin komm ich mit

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Haben wir dann in diesem Fall zwar unabhängige Vektoren, aber kein Erzeugendensystem?

Doch schon: Etwa im Raum der Folgen reeller Zahlen (Das ist ein

unendlich dimensionaler R-Vektorraum. Ein Erzeugendensystem

wären dort etwa die Menge aller Folgen  a_k  die aus

lauter 0en bestehen, nur an der k-ten Stelle eine 1 haben.

was ist mit den n+1 vektoren gemeint? bis dort hin komm ich mit.

Voraussetzung war ja: Zu jedem m gibt es linear unabhängige

Vektoren w1,...,wm . Wenn dem so ist, kann es kein endliches

Erzeugendensystem geben. Wie ich oben sagte:  Das würde

zu einem Raum mit Dim=n gehören. In einem solchen gibt

es nicht mehr als n linear unabhängige Vektoren, also z.B.

nicht n+1 Stück.

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Ahhh ich glaub jetzt hab ichs. danke