Eindimensionaler Untervektorraum: Bestimmen Sie c

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie \( c \in \mathbb{R} \) derart, dass durch das Erzeugendensystem \( \left\{x_{1}, x_{2}\right\} \) mit

$$ x_{1}=\left(\begin{array}{c} c+1 \\ 1 \end{array}\right) \text { und } x_{2}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -2 c+3 \end{array}\right) $$
ein eindimensionaler Untervektorraum des \( \mathbb{R}^{2} \) aufgespannt wird. Geben Sie für diesen Untervektorraum eine Basis an.

Was muss ich bei der Bestimmung von c berücksichtigen ?

Answer 1

Aloha :)

Es soll ein eindimensionaler Vektorraum aufgespannt werden. DIe von den beiden Vektoren aufgespannte Fläche muss also null sein. Über diese Fläche gibt die Determinante Auskunft. Daher muss gelten:$$0=\begin{vmatrix}c+1 & 3\\1 & -2c+3\end{vmatrix}=(c+1)(-2c+3)-1\cdot3=c-2c^2=c(1-2c)$$Wir bekommen also die beiden Kandidaten:$$c=0\quad;\quad c=\frac{1}{2}$$

Für \(c=0\) werden die Vektoren zu:$$\vec x_1=\binom{1}{1}\quad;\quad\vec x_2=\binom{3}{3}$$sodass zum Beispiel \(\binom{1}{1}\) eine Basis des 1-dimensionalen Vektorraums ist.

Für \(c=\frac{1}{2}\) werden die Vektoren zu:$$\vec x_1=\binom{1,5}{1}\quad;\quad\vec x_2=\binom{3}{2}$$sodass zum Beispiel \(\binom{3}{2}\) eine Basis des 1-dimensionalen Vektorraums ist.